Nombre d'étapes non triviales de la suite dérivée (sous-groupes de commutateurs ou sous-algèbres de commutateurs) nécessaires pour atteindre le sous-groupe trivial (ou la sous-algèbre nulle) ; il mesure le nombre d'itérations de commutateurs et caractérise la solvabilité.

Principe

Itérer l'opération des commutateurs pour obtenir une suite décroissante ; la longueur dérivée est l'indice où cette suite devient pour la première fois triviale. Une longueur dérivée finie équivaut à la solvabilité.

Démonstration

Pour S3, le sous-groupe dérivé est A3 (cyclique d'ordre 3) et le dérivé de A3 est trivial, donc S3 a longueur dérivée 2. Un groupe abélien a longueur dérivée 1.

Mauvaise application

Employer la longueur dérivée pour qualifier de « finie » une longueur d'une structure non solvable (au lieu de la considérer infinie/indéfinie), ou la confondre avec la longueur de composition ou la classe de nilpotence, conduit à des erreurs structurelles.

Conséquence

Une longueur dérivée finie implique que le groupe ou l'algèbre de Lie est solvable et limite les facteurs de composition possibles ; de nombreuses preuves par récurrence exploitent cette borne pour contrôler la complexité.

Inversion

En inversant le point de vue, on obtient la suite centrale inférieure et la classe de nilpotence : la nilpotence mesure les commutateurs avec l'ensemble entier tandis que la longueur dérivée mesure les commutateurs itérés du sous-objet dérivé précédent.

Limite

Définie pour les groupes ou algèbres de Lie où les sous-objets dérivés existent ; pour les objets non solvables la suite dérivée peut ne jamais devenir triviale (souvent décrite comme infinie). Elle se distingue des invariants de séries de composition et des invariants de la suite centrale inférieure.

Tension sémantique

La longueur dérivée est en tension avec la classe de nilpotence et la longueur de composition : ces invariants mesurent tous la « non-simplicité » mais selon des schémas d'itération différents et donnent des contraintes structurelles différentes.

Synthèse

La longueur dérivée est le nombre minimal d'itérations de commutateurs nécessaires pour annihiler un groupe ou une algèbre de Lie ; elle caractérise la solvabilité et doit être considérée conjointement avec la nilpotence et la longueur de composition pour une compréhension structurelle complète.