Processus consistant à décomposer un polynôme en produit de facteurs polynomiaux irréductibles sur un anneau ou un corps de coefficients choisi, pris à multiplication par des unités et permutation des facteurs près.

Principe

La factorisation des polynômes dépend des propriétés algébriques du domaine des coefficients : sur un domaine à factorisation unique ou un corps, tout polynôme non nul et non inversible se décompose en irréductibles ; sur un corps on distingue facteurs linéaires, irréductibles de degré supérieur et le rôle des corps de prolongement.

Démonstration

Sur Q, x^2 - 1 se factorise en (x - 1)(x + 1). Sur R, x^2 + 1 reste irréductible en facteurs linéaires réels mais se factorise sur C en (x - i)(x + i). Sur le corps fini GF(2), x^2 + x se factorise en x(x + 1).

Mauvaise application

Présenter une factorisation obtenue sur un corps de prolongement (par exemple des facteurs linéaires sur C) comme si elle valait sur un corps plus petit (R ou Q) sans adjoindre les racines nécessaires ; ignorer les facteurs unités et traiter des polynômes associés comme distincts.

Conséquence

Une factorisation correcte simplifie la recherche de racines, le calcul du pgcd et du résultant, l'analyse des multiplicités et la réduction en problèmes polynomiaux plus simples ; elle fournit aussi des descriptions canoniques utiles en géométrie algébrique et en algèbre computationnelle.

Inversion

Multiplication ou recomposition : recombiner les facteurs par multiplication polynomiale pour reconstruire le polynôme initial, en tenant compte des unités et de l'ordre.

Limite

Dépend du domaine de coefficients spécifié (anneau ou corps). Le polynôme nul, les unités et les associés requièrent un traitement particulier ; l'unicité n'est garantie qu'à multiplication par des unités et permutation des facteurs près. Les algorithmes et résultats peuvent différer entre Z[x], Q[x], F_p[x] ou des anneaux de polynômes sur des extensions.

Tension sémantique

Tension entre la factorisation sur le corps de base courant et la factorisation sur une clôture algébrique ou des anneaux quotient, et entre la factorisation irréductible complète et des décompositions plus grossières comme la factorisation sans carrés ou une factorisation partielle.

Synthèse

La factorisation de polynômes est la séparation canonique d'un polynôme en blocs irréductibles relatifs à un domaine de coefficients choisi ; elle est gouvernée par l'arithmétique de ce domaine, facilite le calcul et la compréhension structurelle, et s'inverse par multiplication à facteurs unitaires près.