Un semi-anneau est une structure algébrique (S, +, ·) munie de deux lois binaires : une addition (+) formant un monoïde commutatif d'identité 0, et une multiplication (·) formant un monoïde d'identité 1 (sauf dans le cas trivial où 0 = 1), telles que la multiplication distribue sur l'addition à gauche et à droite et que 0 annule S par multiplication. Les inverses additifs ne sont pas requis.

Principe

Organiser le calcul algébrique lorsque la soustraction est absente mais où la composition et l'accumulation subsistent ; imposer associativité et identités pour les deux lois et la distributivité pour les relier.

Démonstration

Les entiers naturels N munis de l'addition et de la multiplication usuelles forment un semi-anneau : (N, +, ·) a 0 comme identité additive, 1 comme identité multiplicative, la multiplication distribue sur l'addition et il n'existe pas d'inverses additifs pour les entiers strictement positifs. Un autre exemple est le semi-anneau booléen ({0,1}, ∨, ∧) utilisé en logique et en théorie des automates.

Mauvaise application

Considérer un semi-anneau comme un anneau en supposant que tout élément possède un inverse additif conduit à des erreurs, par exemple inférer la résolution d'équations linéaires par soustraction lorsque les coefficients appartiennent à N ou à des semi-anneaux de matrices à coefficients non négatifs.

Conséquence

L'emploi des semi-anneaux permet de modéliser le comptage, l'accumulation de ressources et les problèmes de chemins où la soustraction n'a pas de sens ; ils donnent lieu à des notions comme les semimodules et l'algèbre matricielle sur semi-anneaux utilisées en théorie des automates et en optimisation.

Inversion

Exiger des inverses additifs transforme un semi-anneau en anneau ; supprimer la distributivité ou l'existence d'identités produit des structures plus faibles (par exemple des rigs sans identité multiplicative ou des hémiringues où une loi distributive manque).

Limite

Les semi-anneaux excluent la nécessité d'inverses additifs ; ils peuvent ne pas être commutatifs pour la multiplication, et certains auteurs relâchent l'existence d'une identité multiplicative — ces variantes doivent être précisées (par ex. semi-anneau unitaire vs hémiringue).

Tension sémantique

Distinguer semi-anneau et anneau : tous deux possèdent deux lois et la distributivité, mais l'anneau exige des inverses additifs ; dans les applications, le semi-anneau est mis en tension avec des structures comme les rigs ou les dioïdes lorsque l'idempotence ou des propriétés d'annulation sont primordiales.

Synthèse

Un semi-anneau est le cadre algébrique à deux lois qui conserve les règles d'addition et de multiplication ainsi que la distributivité tout en abandonnant la soustraction, adapté aux calculs non négatifs, aux calculs idempotents et aux modèles algébriques où seule l'accumulation importe.