Un ensemble X muni d'une opération binaire ▷ telle que pour tout a dans X la translation à gauche L_a(x)=a ▷ x est une bijection de X, et l'opération est auto-distributive à gauche : a ▷ (b ▷ c) = (a ▷ b) ▷ (a ▷ c). Les racks modélisent une auto-action algébrique sans exiger l'idempotence.

Principe

Auto-distributivité à gauche et actions gauches inversibles : l'idée définitoire est que les éléments agissent sur l'ensemble par permutations et que ces actions se distribuent sur l'opération, codant un comportement cohérent analogue à la conjugaison.

Démonstration

La conjugaison dans un groupe donne un rack : prendre X = G et a ▷ b = a b a^{-1} ; la translation à gauche par a est une bijection et l'auto-distributivité découle de l'associativité du groupe, fournissant une structure de rack canonique.

Mauvaise application

Supposer l'idempotence (a ▷ a = a) ou la commutativité ; tous les racks ne sont pas idempotents ni abéliens, donc appliquer des arguments propres aux quandle ou des raisonnements abéliens sur un rack général peut être invalide.

Conséquence

Une utilisation appropriée offre un cadre pour des théories de cohomologie des racks et fournit des invariants combinatoires (via des colorations) pour nœuds et tresses lorsqu'on ajoute des conditions supplémentaires.

Inversion

Supprimer la bijectivité des translations gauches donne des magmas gauche-distributifs où les actions peuvent ne pas être inversibles ; supprimer l'auto-distributivité donne des actions par permutations sans cohérence algébrique.

Limite

Les racks exigent la bijectivité globale de chaque translation à gauche et l'auto-distributivité à gauche ; ils excluent les opérations binaires arbitraires, les actions non inversibles et les structures imposant en plus l'idempotence (ceux-ci sont des quandles).

Tension sémantique

Tension sémantique entre « rack » et « quandle » : un quandle est un rack idempotent, la différence réside donc dans l'imposition a ▷ a = a ; entre « rack » et « groupe » le rack abstrait la conjugaison sans multiplication de groupe sous-jacente.

Synthèse

Un rack est un système où chaque élément agit sur l'ensemble par une permutation et ces actions se distribuent sur l'opération ; il capture abstractionnellement les symétries de type conjugaison utiles en théorie des nœuds et des actions algébriques.