Une catégorie dont chaque morphisme est inversible : les objets forment une classe et les flèches entre objets se composent de manière associative, chaque objet possède une flèche identité, et toute flèche admet une réciproque bilatère. C'est une généralisation du groupe qui permet plusieurs objets tout en conservant des symétries locales de type groupe.

Principe

L'organisation repose sur l'inversibilité locale : les données de composition et d'identité satisfont les axiomes catégoriques habituels et chaque morphisme possède un inverse, de sorte que la symétrie est exprimée relativement aux objets plutôt qu'universellement.

Démonstration

Le groupoïde fondamental d'un espace topologique : les objets sont les points, les morphismes sont les classes d'homotopie de chemins entre points, la composition est la concaténation de chemins, et chaque classe de chemin a un inverse donné par l'inversion du chemin.

Mauvaise application

Considérer un groupoïde comme un unique groupe en ignorant l'indice des objets (par exemple supposer une identité globale unique), ce qui efface l'information sur la variation des symétries entre objets.

Conséquence

Une utilisation correcte fournit une notion souple de symétrie captant l'isotropie locale et le transport ; on peut former des groupoïdes d'orbites, calculer les groupes d'isotropie en chaque objet et effectuer des quotients respectant les symétries dépendantes des objets.

Inversion

Une catégorie ou un monoïde ordinaire où les morphismes ne sont pas nécessairement inversibles ; la suppression de l'inversibilité engendre des phénomènes comme des processus non réversibles et une asymétrie homologique.

Limite

S'applique uniquement aux catégories dont tous les morphismes sont inversibles ; exclut les catégories petites ou grandes générales avec flèches non inversibles et les structures algébriques ayant une seule identité sans dépendance aux objets.

Tension sémantique

Tension sémantique entre « groupe » et « groupoïde » : un groupe est un groupoïde à un seul objet (symétrie globale), alors qu'un groupoïde encode un réseau de groupes locaux et leurs relations (symétrie locale).

Synthèse

Un groupoïde est une catégorie à flèches universellement inversibles ; il étend le concept de groupe en répartissant identités et inverses sur une famille d'objets, offrant un langage compact pour la symétrie et l'équivalence locales.