Une topologie dont les intersections arbitraires d’ouverts sont ouvertes (équivalently chaque point a un plus petit voisinage) ; de telles topologies correspondent exactement aux préordres sur l’ensemble sous-jacent via l’ordre de spécialisation et sont souvent appelées topologies d’Alexandrov (ou d’Alexandroff).

Principe

Exiger que la famille des ouverts soit stable par intersections arbitraires, ce qui donne à chaque point un voisinage ouvert minimal ; cette condition combinatoire fait s’effondrer de nombreuses distinctions topologiques classiques et permet une description d’ordre.

Démonstration

Les espaces d’Alexandrov T0 finis sont équivalents aux posets finis : pour un poset fini (P,≤) on munit P de la topologie dont les ouverts sont les parties montantes ; réciproquement l’ordre de spécialisation d’un espace d’Alexandrov restitue la relation définissante.

Mauvaise application

Supposer que des axiomes de séparation comme T1 ou Hausdorff tiennent en général pour les espaces d’Alexandrov est faux ; beaucoup de topologies d’Alexandrov sont loin d’être T1 et nissent pas à séparer les points par des voisinages disjoints ; il ne faut pas confondre Alexandrov et discret.

Conséquence

Les topologies d’Alexandrov admettent des descriptions combinatoires et algébriques simples (via les préordres), permettant des méthodes discrètes en topologie et des calculs faciles de fermeture et d’intérieur ; elles sont utiles en topologie finie, informatique et modèles combinatoires d’espace.

Inversion

Dans une topologie générale les intersections arbitraires d’ouverts ne sont pas nécessairement ouvertes ; la topologie de Scott ou les topologies métriques contrastent en exigeant la préservation des suprema dirigés ou en se déterminant par une métrique plutôt que par des intersections arbitraires d’ouverts.

Limite

S’applique à tout ensemble mais n’est pas restrictive : elle capture les préordres, peut violer les axiomes de séparation usuels, et est surtout significative quand l’ordre de spécialisation est pertinent ; toutes les topologies utiles en analyse ne sont pas d’Alexandrov.

Tension sémantique

Proche mais distincte de la topologie de Scott utilisée en théorie des domaines : les deux relient ordre et topologie mais diffèrent quant à la fermeture par intersections arbitraires contre la préservation des suprema dirigés, ce qui engendre des notions de continuité différentes pour les applications monotones.

Synthèse

Une topologie d’Alexandrov est une topologie compatible avec des ordres, stable par intersections arbitraires d’ouverts, équivalente au choix d’un préordre dont les ensembles montants sont les ouverts ; elle traduit des relations d’ordre en une structure topologique simple, adaptée aux contextes finis et combinatoires.