Une topologie sur l’hyperspace des parties fermées (ou compactes) d’un espace X, engendrée par des conditions de contenance et d’intersection vis-à-vis d’ouverts : des sous-ouverts types sont {F: F⊂U} (condition supérieure) et {F: F∩U≠∅} (condition inférieure), et la topologie de Vietoris est engendrée par les deux types.

Principe

Combiner des notions de proximité supérieure et inférieure pour des ensembles : contrôler qu’un fermé est contenu dans un ouvert donné (condition supérieure) et qu’il rencontre des ouverts spécifiés (condition inférieure) ; la convergence de familles d’ensembles se décompose en composantes supérieure et inférieure.

Démonstration

Sur l’hyperspace des fermés d’un espace métrique compact X, la topologie de Vietoris est compacte et métrisable ; une suite de fermés F_n→F pour la topologie de Vietoris ssi tout point limite de points pris dans F_n appartient à F (condition supérieure) et chaque point de F est approché par des points provenant des F_n (condition inférieure).

Mauvaise application

Confondre la topologie de Vietoris avec la convergence métrique de Hausdorff ou avec la topologie de Fell (qui fait intervenir la localement compacité et des considérations de mesure) peut fausser l’analyse de la continuité ou de la compacité d’applications à valeurs en ensembles et d’opérations comme l’union ou l’intersection.

Conséquence

Bien appliquée, la topologie de Vietoris transforme les constructions à valeurs en ensembles en objets topologiques fonctoriels : des opérations comme les unions finies et les images par applications continues sont continues sous des hypothèses naturelles, permettant l’étude des hyperspaces et des attracteurs dynamiques.

Inversion

Se restreindre uniquement aux conditions supérieures ou uniquement aux conditions inférieures donne respectivement la topologie de Vietoris supérieure ou inférieure ; chacune capture une convergence unilatérale mais manque du contrôle bilatéral de la topologie de Vietoris complète.

Limite

Définie selon le contexte pour des sous-ensembles fermés ou compacts ; il faut se montrer prudent sur des espaces de base non compacts (la compacité de l’hyperspace peut échouer) et sur le choix entre espace des fermés et des compacts car les propriétés topologiques varient.

Tension sémantique

Est en tension avec la topologie métrique de Hausdorff sur fermés (lorsque cette métrique existe) et avec des topologies de type Fell ; les différences tiennent à l’équilibre entre conditions locales de rencontre, contenance globale et contraintes de type mesurabilité.

Synthèse

La topologie de Vietoris équipe la famille des fermés (ou compacts) de X d’une topologie engendrée par conditions de contenance et de rencontre : elle combine convergence supérieure et inférieure de sorte qu’un filet de fermés converge exactement quand il n’engendre pas de points-limite errants ni ne perd l’approximation des points du fermé limite.