Une topologie sur l’espace C(X,Y) des applications continues de X dans Y, engendrée par des sous-ouverts de la forme [K,U]={f∈C(X,Y):f(K)⊂U} où K⊂X est compact et U⊂Y est ouvert ; elle encode le contrôle des fonctions sur des sous-ensembles compacts du domaine.

Principe

Utiliser des compacts du domaine avec des ouverts cibles pour produire des voisinages de fonctions ; la convergence signifie un contrôle uniforme sur chaque compact fixé plutôt que sur tout le domaine ou simplement en des points isolés.

Démonstration

Si X est localement compact et de Hausdorff et Y est métrique, la topologie compacte-ouverte sur C(X,Y) coïncide avec la topologie de convergence uniforme sur les compacts : f_n→f ssi sup_{x∈K} d(f_n(x),f(x))→0 pour tout compact K⊂X.

Mauvaise application

Supposer que la topologie compacte-ouverte implique convergence uniforme sur tout le domaine lorsque X est non compact, ou croire qu’elle est toujours métrisable, conduit à des erreurs sur la continuité des limites ou la compacité de familles de fonctions.

Conséquence

Les applications d’évaluation ev_x:C(X,Y)→Y sont continues pour chaque x∈X et la composition est souvent continue sous des hypothèses modestes ; la topologie est adaptée à l’homotopie et aux espaces de morphismes car elle respecte le contrôle par compacts.

Inversion

La topologie pointwise (produit) est plus faible — elle ne contrôle que les valeurs en points — tandis que la topologie de convergence uniforme sur l’ensemble du domaine est plus forte ; la compacte-ouverte se situe entre ces extrêmes lorsque X est non compact.

Limite

Définie pour les applications continues entre espaces topologiques et dépend des compacts de X ; elle est particulièrement utile quand X possède beaucoup de compacts (espaces localement compacts) ; elle n’impose pas automatiquement une métrique ni une complétude sur C(X,Y).

Tension sémantique

Entre en concurrence conceptuelle avec la topologie produit (ponctuelle) et les topologies de convergence uniforme ; dans certains contextes la compacte-ouverte coïncide avec la topologie induite par une métrique uniforme sur les compacts, créant une ambiguïté sur la structure fondamentale.

Synthèse

La topologie compacte-ouverte fournit une topologie sur les espaces de fonctions qui mesure la proximité en exigeant un contrôle uniforme sur des compacts : les voisinages précisent que l’image d’un compact est contenue dans un ouvert choisi, mariant compacité et continuité pour définir la convergence.