Un point d'un orbifold dont un voisinage est modélisé sur le quotient de l'espace euclidien par l'action d'un groupe fini non trivial, produisant une singularité localisée caractérisée par le groupe d'isotropie (stabilisateur) et sa représentation linéaire.

Principe

Les singularités d'orbifold apparaissent lorsque des groupes de symétrie locaux identifient des directions ; le voisinage est localement R^n/G pour un groupe fini G, et la classe de conjugaison de G (et son action) organise les types de singularités et invariants locaux possibles.

Démonstration

Dans un orbifold conique en deux dimensions, un point conique d'ordre n est modélisé par R2 modulo la rotation de 2π/n ; en dimension trois, un point dont le stabilisateur local est un sous-groupe fini de SO(3) donne des singularités de quotient classifiées par ces groupes de rotations finis.

Mauvaise application

Traiter les points singuliers d'orbifold comme des points de variété ordinaires ou comme de simples singularités topologiques sans enregistrer l'action du groupe et l'information d'isotropie ; ou confondre les points d'orbifold avec des points de branchement d'autres modèles locaux.

Conséquence

La reconnaissance correcte permet de calculer le groupe fondamental d'orbifold, la caractéristique d'Euler d'orbifold et d'appliquer des théorèmes de revêtement et d'indice adaptés à l'isotropie ; cela gouverne les géométries locales admissibles et les applications préservant la symétrie.

Inversion

L'inverse est un point régulier d'isotropie triviale où les cartes locales sont de véritables voisinages euclidiens ; l'inversion supprime les données de quotient par un groupe et rétablit la structure locale de variété.

Limite

S'applique aux espaces munis d'un atlas d'orbifold construit à partir de cartes de quotient R^n/G avec G fini ; exclut les quotients sauvages avec stabilisateurs non finis, actions non effectives ou accumulation de points singuliers rompant les axiomes d'orbifold.

Tension sémantique

Tension entre points singuliers d'orbifold et singularités algébriques au voisinage topologique semblable mais dépourvues d'une description comme quotient par un groupe fini ; distinguer les données d'action de groupe est essentiel pour les invariants propres aux orbifolds.

Synthèse

Un point singulier d'orbifold est une singularité locale de quotient modélisée par R^n modulo l'action d'un groupe fini ; son groupe d'isotropie et sa représentation déterminent la géométrie, la topologie et les structures d'orbifold locales admissibles.