Un plongement d'une variété ou d'un sous-espace dans un espace euclidien qui n'est ambientement isotrope à aucun plongement lisse ou PL, produisant une topologie locale pathologique comme des voisinages fractals ou des points non localement plats.

Principe

On parle de plongement sauvage lorsque la structure du complément ou du voisinage local ne peut être redressée par une isotopie ambiante ; la sauvagerie provient d'une accumulation d'entrelacements ou de nouages non triviaux à des échelles arbitrairement petites.

Démonstration

La sphère corne d'Alexander dans R3 est un exemple classique : c'est une 2-sphère topologique plongée de telle sorte que son complément n'est pas simplement connexe et qu'il n'existe pas d'isotopie ambiante vers la sphère standard, donc elle est sauvagement plongée.

Mauvaise application

Supposer que tout plongement topologique en codimension un est équivalent à un plongement lisse ; ou utiliser des invariants différentiables (comme la courbure) pour détecter la sauvagerie, ce qui peut manquer des pathologies purement topologiques.

Conséquence

La reconnaissance d'un plongement sauvage indique que l'intuition géométrique locale échoue : des invariants dépendant de la platitude locale (voisinages tubulaires, dualité d'Alexander naïve) peuvent ne pas s'appliquer et des techniques topologiques spécifiques sont nécessaires.

Inversion

Le concept inverse est le plongement tame (locally flat), où les voisinages locaux sont standards et le plongement peut être lissé ou approché en PL ; inverser la sauvagerie restaure la platitude locale et l'isotopie ambiante vers des modèles classiques.

Limite

Concerne les plongements en codimensions où des phénomènes pathologiques peuvent apparaître (notamment codimension deux ou un en basses dimensions) ; exclut les plongements admettant des isotopies ambiantes vers des modèles lisses ou PL et exclut les immersions purement algébriques sans problèmes topologiques d'injection.

Tension sémantique

Concurrence avec la notion d'un plongement apparemment pathologique mais démêlable : certains plongements semblent sauvages mais admettent un dénouement local par des isotopies subtiles ; la tension se situe entre invariants algébriques détectables et obstructions topologiques fines.

Synthèse

Un plongement sauvage est un plongement topologique dont le voisinage ou le complément résiste au redressement par isotopie ambiante, produisant une topologie locale pathologique qui le distingue des plongements lisses ou PL.