Un cadre fondateur qui interprète la théorie des types de manière homotopique : les types sont vus comme des espaces (ou ∞-groupoïdes), les termes comme des points et les égalités comme des chemins, mariant les constructeurs typés logiques à une sémantique homotopique.

Principe

Exploiter la correspondance entre types dépendants et fibrations et interpréter les types d'identité comme des espaces de chemins afin que les constructions syntaxiques aient des significations homotopiques ou ∞-catégoriques directes.

Démonstration

Un exemple éclairant est l'interprétation de l'axiome d'univalence : les équivalences entre types correspondent aux égalités de types, modélisées concrètement dans des modèles simpliciaux ou cubiques où les égalités de niveau type sont des équivalences homotopiques.

Mauvaise application

Appliquer le raisonnement de HoTT à des constructions classiques en théorie des ensembles sans tenir compte des identifications homotopiques supérieures peut entraîner des discordances catégoriques ou la perte d'arguments extensionnels supposés en théorie des ensembles.

Conséquence

Une utilisation correcte fournit un langage pour faire de la théorie de l'homotopie à l'intérieur d'une théorie des types, permettant des constructions synthétiques, des formalismes vérifiables par machine et de nouvelles perspectives sur l'égalité, les types inductifs supérieurs et l'univalence.

Inversion

L'inverse est la fondation classique en théorie des ensembles où l'égalité est stricte et les types sont des ensembles sans structure de chemins supérieure ; dans ce cadre, les identifications homotopiques doivent être codées de l'extérieur plutôt qu'internalisées.

Limite

HoTT se concentre sur des théories de types dépendants intensionales avec modèles homotopiques ; il exclut les seules théories des ensembles extensionnelles classiques sauf extension, et ses modèles visés sont de type ∞-groupoïde (simplicial, cubique ou ∞-topos).

Tension sémantique

La tension porte sur l'opposition entre traitements computationnels et proof-théoriques des types (privilégiant décidabilité et normalisation) et la richesse homotopique (privilégiant les identifications supérieures et l'univalence), imposant des compromis en conception et en choix de modèles.

Synthèse

HoTT internalise les idées de la théorie de l'homotopie dans la syntaxe des types de sorte que les preuves deviennent des constructions homotopiques, offrant un formalisme unifié pour l'égalité de dimension supérieure, la topologie synthétique et les mathématiques vérifiables par ordinateur.