Une technique qui applique le théorème de la catégorie de Baire pour obtenir des résultats d'existence générique ou de densité en montrant qu'une intersection dénombrable d'ouverts denses (un G_δ dense) contient les objets typiques possédant la propriété recherchée dans un espace métrique complet ou un espace de Baire.

Principe

Utiliser la propriété de Baire : dans un espace métrique complet (ou de Baire), les intersections dénombrables d'ouverts denses restent denses ; construire des ouverts denses codant des approximations à étapes finies de la propriété désirée de sorte que leur intersection fournisse un ensemble générique d'objets satisfaisant la propriété complète.

Démonstration

Pour démontrer que la fonction continue «typique» sur [0,1] est non dérivable, on construit pour chaque n un ouvert dense de fonctions ne satisfaisant pas la différentiabilité à l'échelle 1/n, puis on applique Baire pour conclure que l'intersection est dense et donc générique, donnant l'existence et la densité de fonctions non dérivables.

Mauvaise application

Confondre généricité au sens de Baire avec presque partout au sens mesurable (ce sont des notions distinctes), ou appliquer la méthode dans des espaces qui ne sont pas de Baire (où les intersections dénombrables d'ouverts denses peuvent être vides).

Conséquence

On obtient des résultats d'existence robustes et des affirmations de comportement typique (ensembles G_δ denses) qui sont topologiques plutôt que métriques; la méthode sert souvent à montrer l'abondance de structures pathologiques ou génériques en analyse et topologie.

Inversion

La typicalité au sens mesurable (propriétés valant presque partout par rapport à une mesure) contraste souvent avec la généricité de Baire ; une propriété peut être générique en Baire mais de mesure nulle, ou inversement.

Limite

Nécessite un espace de Baire (espaces métriques complets, espaces localement compacts de Hausdorff, ou espaces satisfaisant la propriété de Baire) ; ne s'applique pas littéralement à des espaces topologiques quelconques et ne donne pas d'estimations de mesure ou de fréquence.

Tension sémantique

Tension entre la «grandeur» topologique (généricité de Baire) et la grandeur au sens mesurable ; tension aussi entre exemples constructifs explicites et preuves par catégorie qui peuvent être non constructives et laisser implicites les éléments typiques.

Synthèse

La méthode de la catégorie de Baire consiste à construire des conditions ouvertes denses codant des approximations finies d'une propriété et à utiliser le théorème de Baire pour déduire que leur intersection dénombrable est dense, fournissant des résultats d'existence et de typicité topologiques distincts des notions fondées sur la mesure.