Un théorème affirmant que toute application continue d'une boule fermée de l'espace euclidien de dimension n dans elle-même possède au moins un point fixe ; autrement dit toute fonction continue f : D^n → D^n satisfait f(x) = x pour un certain x ∈ D^n.

Principe

La continuité sur un domaine compact et convexe force l'image à rencontrer le domaine de manière à empêcher une application de se soustraire à l'existence d'un point fixe ; des arguments de degré topologique ou d'homologie certifient l'existence inévitable d'un point fixe.

Démonstration

Pour le disque unité D^2, toute application continue qui tenterait de pousser chaque point strictement vers l'intérieur ou l'extérieur conduit à une contradiction avec la théorie du degré ou avec l'impossibilité d'une rétraction continue du disque sur sa frontière S^1 ; concrètement, une rotation continue n'admet des points fixes que si l'angle est nul, tandis que toute perturbation continue de l'identité sur D^2 doit fixer un point selon l'argument de Brouwer.

Mauvaise application

Supposer que le théorème vaut pour des domaines non compacts (boules ouvertes) ou en omettant la continuité ; par exemple une application continue de la boule ouverte dans elle-même peut ne pas avoir de point fixe, et des applications discontinues peuvent éviter des points fixes aisément. L'appliquer dans des espaces de Banach infinie-dimensionnels sans compacité peut aussi échouer.

Conséquence

Possède des conséquences étendues : garantit des équilibres dans de nombreux modèles, implique qu'il n'existe pas de rétraction continue du disque fermé sur sa frontière, et sous-tend des méthodes de point fixe en équations différentielles et en théorie des jeux (résultats d'existence), bien qu'il fournisse une existence non constructive sans unicité ni méthode explicite de localisation.

Inversion

L'absence d'un point fixe pour une application continue d'une boule fermée contreviendrait aux invariants topologiques ; inverser l'énoncé mène à des affirmations sur l'impossibilité de certaines déformations continues (par exemple l'absence de rétraction du disque sur la sphère frontière).

Limite

S'applique aux applications continues d'une boule fermée de dimension finie (ou plus généralement à des sous-ensembles convexes compacts de l'espace euclidien) ; ne garantit pas de point fixe pour des applications sur des domaines ouverts, ni dans des cadres infinidimensionnels sans compacité (les théorèmes de Schauder et de Banach fournissent des généralisations différentes sous d'autres hypothèses).

Tension sémantique

Souvent comparé au théorème du point fixe de Banach (qui assure unicité et méthode constructive sous condition de contraction) et au théorème de Schauder (qui généralise l'existence à certains espaces infinidimensionnels compacts) ; la tension réside entre l'existence non constructive (Brouwer) et des résultats plus forts et constructifs.

Synthèse

Le Théorème du Point Fixe de Brouwer affirme que toute application continue d'une boule fermée admet un point fixe : une inéluctabilité topologique fondée sur la théorie du degré et la compacité, qui garantit l'existence d'équilibres et interdit certaines déformations continues sans fournir nécessairement de construction du point fixe.