Invariante cardinale d'un espace topologique : le poids w(X) est la cardinalité minimale d'une base qui engendre la topologie de X.

Principe

Toute topologie est engendrée par des bases ; le poids mesure la plus petite taille d'une telle famille génératrice et quantifie ainsi la complexité topologique globale.

Démonstration

Un espace discret de cardinal κ a pour poids κ parce que les singletons forment une base de taille κ ; la droite réelle R a pour poids le continu puisque la base usuelle d'intervalles ouverts a cette cardinalité.

Mauvaise application

Confondre le poids avec la densité ou avec la cardinalité de l'ensemble des ouverts est une mauvaise application ; le poids concerne les bases minimales, pas les ensembles denses ni le nombre d'ouverts.

Conséquence

Le poids borne des théorèmes d'immersion et la construction de produits : de nombreux résultats d'injection font référence au poids, et des constructions comme le cube de Tychonoff utilisent le poids comme paramètre.

Inversion

Un espace de poids minimal κ ne peut pas être engendré par une famille de cardinalité strictement plus petite ; l'inversion mène à considérer des espaces de poids arbitrairement grand sans petite base.

Limite

Le poids s'applique aux espaces topologiques comme invariant global ; il ne traite pas directement des bases locales (caractère) ni de la densité, et dépend de la topologie choisie plutôt que de la seule taille de l'ensemble sous-jacent.

Tension sémantique

Le poids est souvent confondu avec la densité ou avec la cardinalité d'une base en un point (caractère) ; la tension porte sur la différence entre taille globale d'une base et invariants locaux ou de densité.

Synthèse

Le poids d'un espace est le plus petit cardinal d'une base qui génère sa topologie : une mesure globale du nombre de ouverts de base nécessaires pour décrire la topologie, distincte des invariants locaux.