Propriété topologique : un espace est à première dénombrabilité si chaque point admet une base locale de voisinages dénombrable (une base de voisinages à ce point qui est dénombrable).

Principe

Le comportement topologique local peut être décrit par une collection dénombrable de voisinages en chaque point, de sorte que les méthodes séquentielles suffisent souvent pour étudier la continuité et l'adhérence au voisinage d'un point.

Démonstration

Tout espace métrique est à première dénombrabilité : au point x on prend la famille dénombrable des boules ouvertes B(x,1/n) pour n dans les entiers naturels ; elles forment une base locale dénombrable en x.

Mauvaise application

Affirmer que les suites déterminent l'adhérence dans un espace topologique quelconque sans hypothèse de première dénombrabilité est une mauvaise application ; hors de ce cadre, il faut recourir aux filets ou aux filtres.

Conséquence

Dans un espace à première dénombrabilité, de nombreuses propriétés locales se traduisent par des caractérisations séquentielles : la continuité en un point et l'appartenance à une adhérence se testent par des suites.

Inversion

Un espace qui n'est pas à première dénombrabilité possède au moins un point sans base de voisinages dénombrable, rendant insuffisantes les méthodes purement séquentielles et imposant l'usage de filets ou filtres.

Limite

Il s'agit d'une condition locale et cardinale en topologie. Elle n'implique ni la seconde dénombrabilité, ni la séparabilité, ni la compacité, et peut se satisfaire même si une base globale est non dénombrable.

Tension sémantique

La première dénombrabilité est souvent confondue avec la seconde dénombrabilité (base globale dénombrable) ou la séparabilité (existence d'un ensemble dense dénombrable) ; la différence porte sur local/global et base/dense.

Synthèse

La première dénombrabilité signifie que chaque point possède une famille dénombrable de voisinages qui engendre sa topologie locale ; c'est une contrainte locale favorisant le raisonnement séquentiel sans imposer une petite taille globale.