Opération combinatoire standard sur les complexes simpliciaux qui remplace chaque simplexe par un ensemble de simplesxes plus petits obtenus en joignant le barycentre du simplexe aux barycentres de ses faces, produisant un complexe simplicial plus fin ayant le même polyèdre sous-jacent.

Principe

Pour chaque simplexe σ d'un complexe simplicial K, on calcule les barycentres de toutes les faces de σ et on forme des simplesxes dont les sommets sont les barycentres ordonnés par inclusion des faces ; l'itération de ce procédé donne des triangulations arbitrairement fines tout en préservant le type PL et le type d'homotopie.

Démonstration

Exemple : pour un 2-simplexe (triangle) de sommets v0,v1,v2, on prend le barycentre b du triangle et les barycentres des arêtes ; on relie b aux barycentres des arêtes et aux sommets pour obtenir six petits triangles qui triangulent le triangle initial. Appliqué à un complexe simplicial modélisant une surface, cela fournit une triangulation plus fine utile pour des approximations en piècewise-linéaire.

Mauvaise application

Tenter une subdivision barycentrique sur une collection d'ensembles qui n'est pas un complexe simplicial (par exemple des polygones chevauchants sans données d'incidence des faces) sans imposer d'abord une structure simpliciale ; les règles combinatoires exigent des faces et des inclusions bien définies.

Conséquence

La subdivision barycentrique produit un complexe simplicial aux simplesxes de plus petits diamètres ; elle affine la structure combinatoire, permet souvent de rendre des applications simpliciales après suffisamment d'itérations et laisse invariants l'homologie et le type d'homotopie après réalisation géométrique.

Inversion

Il n'existe pas d'opération inverse globale unique : rendre moins fin une subdivision barycentrique nécessite des choix (mouvements stellaires ou bistellaires) et peut modifier le type combinatoire ; la subdivision n'est généralement pas inversible sans structure supplémentaire.

Limite

Définie pour les complexes simpliciaux et les ensembles simpliciaux finis ; non directement définie pour des CW-complexes arbitraires ou des espaces topologiques généraux sans triangulation préalable ; préserver la structure PL d'une variété exige des précautions en grande dimension.

Tension sémantique

Souvent mise en contraste avec d'autres raffinements de triangulation (subdivision stellaire, subdivision par arêtes) : la subdivision barycentrique est canonique et simple combinatoirement mais augmente fortement le nombre de sommets, créant une tension entre canonicité et explosion combinatoire.

Synthèse

La Subdivision Barycentrique est la règle canonique qui remplace chaque simplexe par des simplesxes construits à partir des barycentres des faces, produisant des triangulations plus fines qui préservent la réalisation géométrique sous-jacente et servent à raffiner applications et invariants combinatoires.