Un complexe simplicial (abstrait) K sur un ensemble de sommets V est une famille de sous-ensembles finis (appelés simplexes) de V stable par passage aux sous-ensembles : si σ ∈ K et τ ⊆ σ alors τ ∈ K. Les réalisations géométriques recollent les simplexes le long de faces pour modéliser la topologie piècewise-linéaire.

Principe

Encode les incidences combinatoires entre sommets, arêtes, triangles, etc., de sorte que des invariants topologiques (homologie, type d'homotopie modulo certaines équivalences) se calculent combinatoirement via opérateurs frontière et complexes de chaînes.

Démonstration

Un triangle avec ses arêtes et ses sommets forme un complexe simplicial de dimension 2 ; le nerf d'un recouvrement ouvert est un complexe simplicial abstrait dont la réalisation reflète les schémas d'intersection du recouvrement.

Mauvaise application

Considérer arbitrairement tout recollement de simplexes comme un complexe simplicial sans vérifier que les intersections sont des faces (ou confondre avec des CW-complexes ou des ensembles simpliciaux) conduit à des descriptions combinatoires erronées.

Conséquence

Bien utilisé, il fournit des modèles combinatoires finis pour des espaces topologiques, propices au calcul algorithmique de l'homologie, à la théorie de Morse discrète et à l'homologie persistante en topologie appliquée.

Inversion

Les généralisations catégoriques ou homotopiques renvoient aux ensembles simpliciaux ou aux CW-complexes ; ceux-ci généralisent les complexes simpliciaux (admettant des simplexes dégénérés ou des cellules attachées) et assouplissent l'exigence stricte d'intersection par faces.

Limite

Défini abstraitement et géométriquement ; les restrictions incluent la finitude ou la pureté lorsque cela est requis, et la définition abstraite exclut les structures avec identifications non simpliciales ou des cellules recollées le long de non-faces.

Tension sémantique

Concurrence avec les notions d'ensemble simplicial et de CW-complexe : les complexes simpliciaux sont combinatoirement stricts (pas d'identifications hors faces) tandis que les ensembles simpliciaux et CW-complexes offrent plus de souplesse au prix d'une simplicité combinatoire moindre.

Synthèse

Un complexe simplicial est l'ossature combinatoire de simplexes stable par faces dont la réalisation géométrique construit des espaces piècewise-linéaires ; il fournit des complexes de chaînes maniables pour la topologie algébrique et des applications algorithmiques.