Une file dirigée (net de Moore–Smith) dans un espace X est une fonction x : D → X depuis un ensemble dirigé (D, ≤) vers X. Les files généralisent les suites en autorisant des ensembles d'indices dirigés arbitraires, ce qui permet de rendre compte de la convergence dans les espaces non première dénombrables.

Principe

L'ordre dirigé sur l'ensemble d'indices détermine quelles valeurs sont finalement dominantes ; la convergence x_d → x signifie que pour tout voisinage U de x il existe d0 tel que x_d ∈ U pour tout d ≥ d0. Les files incarnent l'idée d'éventualité de manière suffisamment flexible pour reproduire la fermeture topologique et la continuité sans hypothèses de dénombrabilité.

Démonstration

Considérer l'ensemble dirigé des parties finies d'un indice infini I ordonné par inclusion ; une file indexée par ces parties finies peut témoigner de la convergence de fonctions sur I pour la topologie produit lorsque aucune suite ne le fait. Dans un espace à première dénombrabilité, toute file convergente a une sous-suite (suite) témoin, montrant que les files généralisent strictement les suites.

Mauvaise application

Trait er les files comme de simples synonymes de suites et restreindre les indices à N fait perdre de la généralité ; indexer par un ensemble ordonné qui n'est pas dirigé ou interpréter 'éventuellement' comme 'pour tous les indices ultérieurs' sans tenir compte de la relation dirigée conduit à des assertions de convergence incorrectes.

Conséquence

Les files fournissent des caractérisations équivalentes de la fermeture, de la continuité et de la compacité dans des espaces topologiques arbitraires : un point x appartient à la fermeture de A si et seulement s'il existe une file dans A qui converge vers x. Elles précisent le comportement limite requis pour de nombreux arguments topologiques généraux.

Inversion

Remplacer l'éventualité par la cofinalité des complémentaires ou remplacer les files par des filtres donne le langage dual : toute file engendre un filtre et tout filtre peut être représenté par des files à cofinalité près ; cette dualité clarifie souvent des preuves en changeant de point de vue.

Limite

Les files sont très générales et parfois difficiles à manier ; dans les espaces à première dénombrabilité, les suites suffisent et en contexte mésurable les files sont moins utilisées. Les files exigent des ensembles d'indices dirigés ; des fonctions arbitraires depuis des ensembles non ordonnés ne sont pas des files et n'héritent pas de la notion de convergence.

Tension sémantique

La notion de file (net de Moore–Smith) est en tension avec celle de suite (indices dénombrables) et avec les formulations de convergence en termes de filtres ; on choisit les files quand la dénombrabilité échoue, mais on revient souvent aux suites dans les cadres métrisables pour la simplicité.

Synthèse

Une file dirigée est une famille de points indexée par un ensemble dirigé qui code l'appartenance éventuelle aux voisinages : en autorisant des indices dirigés arbitraires elle capture la notion topologique complète de convergence et restaure les équivalences entre fermeture, continuité et convergence au‑delà des cadres séquentiels.