Une ge9ne9ralisation de la formule des traces (Arthur–Selberg) qui compare des inte9grales de fonctions noyau sur des sous-groupes ou des quotients — pe9riodes de formes automorphes — conduisant e0 des identite9s reliant des sommes relatives (pe9riodes) e0 des donne9es spectrales ; utilise9e pour relier des repre9sentations automorphes e0 des quantités arithme9tiques comme des valeurs L centrales et des pe9riodes.

Principe

En inte9grant le noyau d'un ope9rateur de convolution automorphe sur un sous-groupe ou une paire de sous-groupes on obtient un de9veloppement ge9ome9trique « relatif » (contributions orbitales) e9gal e0 un de9veloppement spectral (somme sur des repre9sentations avec inte9grales de pe9riode). Mettre en correspondance ces de9veloppements produit des identite9s utiles pour relier pe9riodes et valeurs L et pour des cas de fonctorialite9.

Démonstration

Dans des cas ramenant aux formules de Waldspurger ou Ichino–Ikeda, on construit une trace relative en comparant des inte9grales sur un tore et l'on montre que le cf4te9 ge9ome9trique se re9duit e0 des inte9grales orbitales dont la correspondance avec le cf4te9 spectral fournit des expressions explicites de valeurs L centrales en termes d'inte9grales de pe9riode.

Mauvaise application

Employer une trace relative sans ve9rifier la convergence, choisir des fonctions test incompatibles, ou ignorer la correspondance locale-globale des donne9es orbitales peut produire des identite9s fallacieuses ; de plus, appliquer une construction de trace relative cone7ue pour une paire de sous-groupes e0 une pe9riode non relie9e peut eatre invalide.

Conséquence

Fournit un cadre souple pour de9montrer des relations entre pe9riodes et valeurs L, e9tablir des cas de transfert fonctoriel et extraire des informations arithme9tiques e0 partir de de9compositions spectrales ; elle produit souvent des formules explicites ou des principes de comparaison utilise9s dans des preuves de re9sultats arithme9tiques profonds.

Inversion

La formule des traces ordinaire (trace globale) som mme les contributions diagonales ge9ome9triques et les compare e0 l'expansion spectrale comple8te ; la version relative remplace la diagonale par une inte9grale sur un sous-groupe prescrite, mettant l'accent sur les inte9grales de pe9riode plutf4t que sur les traces d'ope9rate urs.

Limite

Ne9cessite un contrf4le analytique soigneux : choix des fonctions test, troncature et re9gularisation, et correspondance locale pre9cise des inte9grales orbitales ; la me9thode s'applique dans de nombreux contextes automorphes mais pas dans tous et doit respecter la syme9trie et les conventions de mesure de la pe9riode e9tudie9e.

Tension sémantique

Rivalise avec d'autres me9thodes (inte9grales de Rankin–Selberg, theorems de conv ersation, ou syste8mes d'Euler) pour relier pe9riodes et valeurs L ; les formules des traces relatives sont plus flexibles pour la comparaison ge9ome9trique mais peuvent eatre techniquement plus lourdes et exiger un appariement local subtil.

Synthèse

La formule des traces relatives est un outil de comparaison qui e9galise un de9veloppement ge9ome9trique inte9gre9 sur un sous-groupe e0 un de9veloppement spectral de repre9sentations automorphes ; en faisant correspondre inte9grales orbitales et pe9riodes spectrales, elle produit des identite9s liant pe9riodes, valeurs L centrales et cas de fonctorialite9.