Pour une courbe elliptique E définie sur Q (ou un corps de nombres), une prime p de bonne réduction est dite anormale si le nombre de points sur F_p vérifie #E(F_p) ≡ 1 (mod p), équivalemment si la trace de Frobenius a_p satisfait a_p ≡ 0 (mod p), ce qui entraîne des comportements arithmétiques et algorithmiques exceptionnels.

Principe

Aux places de bonne réduction on étudie l'action de Frobenius sur la réduction ; les nombres premiers anormaux sont ceux pour lesquels la trace de Frobenius s'annule modulo p, de sorte que le groupe E(F_p) a un ordre congru à 1 modulo p, ce qui a des conséquences sur la p-torsion et les propriétés de relèvement des points.

Démonstration

Si E a bonne réduction en p et que la trace de Frobenius a_p vaut kp pour un entier k (en pratique a_p ≡ 0 mod p), alors #E(F_p)=p+1−a_p ≡ 1 (mod p) ; de telles primes peuvent se produire et sont précisément les primes anormales qui conduisent à ce que E(F_p) contienne un point d'ordre p ou d'autres phénomènes de torsion exceptionnels.

Mauvaise application

Confondre primes anormales avec des primes de mauvaise réduction ou avec des primes supersingulières sans vérifier les définitions ; anormal est une condition de congruence sur le comptage des points en bonne réduction et se distingue logiquement du type de réduction ou de la supersinguliérité en général.

Conséquence

Les primes anormales peuvent générer des faiblesses arithmétiques et cryptographiques : des courbes présentant de telles primes peuvent être vulnérables à des attaques exploitant la présence de p-torsion sur F_p, compliquent les heuristiques de comptage de points et affectent les arguments locaux de déformation et de descente.

Inversion

Prime non anormale : #E(F_p) n'est pas congru à 1 modulo p (équivalemment a_p n'est pas divisible par p), de sorte que le comportement congruent exceptionnel en p est absent et les propriétés locales standard tiennent sans cette pathologie de torsion particulière.

Limite

Le terme n'a de sens qu'aux primes de bonne réduction pour la courbe elliptique et porte sur des congruences du nombre de points modulo p ; il exclut les primes de mauvaise réduction et doit être distingué de notions proches comme la réduction supersingulière ou ordinaire, qui se définissent différemment.

Tension sémantique

Tension entre primes anormales et primes supersingulières : certaines caractérisations coïncident dans des cas particuliers, mais anormal est une congruence sur le comptage de points en bonne réduction tandis que supersingulier se rapporte à la structure du schéma de p-torsion et aux pentes de Frobenius ; ce sont des phénomènes liés mais distincts.

Synthèse

Une prime anormale pour une courbe elliptique est une prime de bonne réduction en laquelle la trace de Frobenius s'annule modulo p, de sorte que #E(F_p) ≡ 1 (mod p) ; cette congruence simple résume une pathologie concrète de torsion et algorithmique qui doit être traitée indépendamment des questions générales de type de réduction.