Fonction arithmétique complètement multiplicative λ(n)=(-1)^{Ω(n)}, où Ω(n) désigne le nombre total de facteurs premiers de n comptés avec multiplicité; elle prend les valeurs ±1 et vérifie λ(p^k)=(-1)^k pour les puissances de premiers.

Principe

Encoder la parité du nombre total de facteurs premiers de façon multiplicative, de sorte que la valeur sur un produit est le produit des valeurs, rendant λ uniquement sensible à la parité de Ω(n).

Démonstration

Calculer λ(12). 12=2^2·3 donc Ω(12)=3 et λ(12)=(-1)^3=-1. Pour un premier p, λ(p)=-1 et λ(p^2)=+1.

Mauvaise application

Utiliser λ(n) comme si elle comptait les premiers distincts (ω(n)) au lieu des facteurs avec multiplicité produit des prévisions de parité incorrectes et détruit la complète multiplicativité sur les puissances.

Conséquence

Comme suite ±1 complètement multiplicative, λ(n) intervient dans des identités et séries de Dirichlet qui sondent les annulations de signe dans les sommes sur les entiers et dans des conjectures reliant ses sommes partielles au comportement aléatoire des signes.

Inversion

La fonction contrastée est la fonction de Möbius μ(n), qui s'annule pour les entiers non sans carrés et est multiplicative mais pas complètement multiplicative; μ et λ coïncident sur les entiers sans carrés mais diffèrent sur les puissances de premiers.

Limite

Définie seulement sur les entiers positifs; les questions de distribution concernant λ(n) portent sur les motifs de signes et les sommes partielles plutôt que sur des amplitudes; elle n'est pas adaptée au comptage des facteurs premiers distincts ni aux comportements non multiplicatifs.

Tension sémantique

Confusion possible avec la fonction de Möbius μ parce que les deux valent ±1 sur les entiers sans carrés; la tension provient de l'oubli de la différence entre multiplicativité sur les puissances (λ) et annulation sur les entiers non sans carrés (μ).

Synthèse

La fonction de Liouville est la fonction arithmétique complètement multiplicative à valeurs ±1 déterminée par la parité du nombre total de facteurs premiers; elle encode multiplicativement la parité des facteurs et sert à mesurer les annulations globales en théorie des nombres.