Fonction arithmétique multiplicative μ(n) prenant les valeurs dans {−1,0,1} : μ(n)=0 si n est divisible par le carré d'un premier, sinon μ(n)= (−1)^{r} où r est le nombre de facteurs premiers distincts de n.

Principe

μ est multiplicative et est l'inverse de Dirichlet de la fonction constante 1 : (μ * 1)(n) = ε(n) (l'identité pour la convolution de Dirichlet). Elle encode la propriété d'être sans carré et la parité des facteurs premiers et sous-tend les formules d'inversion de Möbius qui transforment des sommes cumulatives en valeurs ponctuelles.

Démonstration

Exemple : μ(30) = μ(2·3·5) = (−1)^3 = −1 puisque 30 est sans carré avec trois premiers distincts ; μ(12) = 0 car 12 est divisible par 2^2. Inversion de Möbius : si F(n)=∑_{d|n} f(d) alors f(n)=∑_{d|n} μ(d) F(n/d).

Mauvaise application

Traiter μ comme multiplicative sur des entiers non positifs, omettre μ(n)=0 pour les nombres ayant des facteurs carrés, ou appliquer l'inversion sans vérifier les domaines de sommation adéquats sont des usages erronés courants.

Conséquence

μ permet le principe d'inversion de Möbius qui reconstruit des fonctions arithmétiques à partir de leurs sommes divisorielles, est central en théorie multiplicative et apparaît dans des énoncés analytiques (fonction de Mertens, relations à la fonction zêta de Riemann) reflétant des questions profondes sur la distribution des premiers et des nombres sans carré.

Inversion

La valeur absolue |μ(n)| est l'indicatrice des nombres sans carré (1 pour sans carré, 0 sinon) ; à comparer avec la fonction de Liouville λ(n) = (−1)^{Ω(n)} qui dépend de la multiplicité totale des facteurs premiers et diffère donc pour les nombres avec facteurs répétés.

Limite

Définie uniquement pour les entiers positifs n ; sa multiplicativité et ses propriétés d'inversion reposent sur l'arithmétique des entiers. Étendre μ à d'autres structures algébriques exige une redéfinition soigneuse. Les propriétés statistiques (par ex. la distribution des signes de μ) relèvent de conjectures profondes et ne sont pas totalement résolues.

Tension sémantique

Tension entre μ et λ (Liouville) quand on compare la parité des facteurs premiers distincts et la multiplicité, et entre l'usage de μ comme outil combinatoire d'inversion et son traitement comme un signe 'aléatoire' en heuristiques analytiques ; ces perspectives entraînent des emphases et conjectures différentes.

Synthèse

La fonction de Möbius est un invariant multiplicatif concis qui détecte l'absence de carrés et la parité des facteurs premiers distincts ; comme inverse de Dirichlet de 1 elle permet l'inversion de Möbius, convertissant des relations de sommes de diviseurs en formules explicites et reliant identités combinatoires à des questions analytiques en théorie des nombres.