Un entier qui n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier ; équivalemment, dans sa décomposition en facteurs premiers chaque premier apparaît avec exposant 0 ou 1.

Principe

Les entiers sans carré sont ceux dont la factorisation en puissances de premiers ne comporte aucun exposant ≥2 ; le radical de n (produit des premiers distincts) coïncide avec |n| pour n sans carré, et les fonctions multiplicatives se simplifient souvent sur cette sous-classe.

Démonstration

Exemples : 30 = 2×3×5 est sans carré, 18 = 2×3^2 n'est pas sans carré car 3^2 divise 18, et 1 est conventionnellement sans carré car il n'a pas de diviseurs premiers.

Mauvaise application

Confondre « sans carré » avec « qui n'est pas un carré parfait » (par ex. 6 est sans carré mais n'est pas un carré) ou négliger le signe et le zéro (0 est divisible par tout carré et n'est donc pas sans carré) sont des erreurs fréquentes.

Conséquence

Les entiers sans carré interviennent dans le comportement des fonctions de Möbius et de Liouville, dans des décomptes (densité des sans carré ≃6/π^2) et dans des résultats structuraux où la restriction aux entrées sans carré simplifie des formules multiplicatives ou des arguments locaux-globaux.

Inversion

La classe opposée est formée par les entiers divisibles par le carré d'un premier (non sans carré) ; les nombres puissants sont une inversion extrême où chaque premier divisant n le fait avec exposant au moins 2.

Limite

La définition s'applique aux entiers ; 0 n'est pas sans carré, 1 est sans carré par convention, et dans les corps de nombres la notion analogue exige de considérer les carrés d'idéaux premiers — prudence en généralisant de Z aux anneaux d'entiers d'un corps de nombres.

Tension sémantique

La tension provient de la comparaison entre la notion entière élémentaire de sans carré et des notions algébriques apparentées comme la séparabilité des polynômes ou la condition sans carré pour des idéaux : semblables en esprit mais nécessitant des critères locaux et des techniques différents.

Synthèse

Un entier sans carré est celui dont la décomposition en facteurs premiers ne contient pas de facteurs répétés ; cette condition combinatoire simple a des conséquences importantes en théorie multiplicative des nombres, en estimations de densité et en simplification des fonctions arithmétiques.