Une conjecture et un programme de recherche affirmant de profondes correspondances entre la géométrie symplectique d'une variété de Calabi–Yau et la géométrie algébrique complexe de sa miroir, incluant des équivalences entre certaines catégories et des égalités d'invariants énumératifs.

Principe

L'idée organisatrice est que la catégorie de Fukaya dérivée des sous-variétés lagrangiennes et la catégorie dérivée des faisceaux cohérents sur la Calabi–Yau miroir sont équivalentes ; les comptages symplectiques de disques holomorphes/invariants de Gromov–Witten correspondent aux périodes complexes et aux données de déformation sur le miroir.

Démonstration

Dans l'exemple classique, des prédictions sur les nombres de courbes rationnelles de degré donné sur une quintique en dimension trois (côté symplectique) sont obtenues en calculant les intégrales de périodes de la famille miroir (côté complexe), produisant des formules énumératives confirmées par des calculs algébriques directs.

Mauvaise application

Prendre la symétrie miroir comme une isomorphie ponctuelle littérale des variétés, affirmer l'énoncé homologique sans vérifier les hypothèses techniques (par ex. monotonicité, transversalité ou existence de compactifications nécessaires), ou appliquer des arguments de miroir de Calabi–Yau naïvement à des variétés non reliées conduit à des erreurs.

Conséquence

Lorsque valide, la symétrie miroir traduit des problèmes énumératifs ou de déformation difficiles d'une catégorie géométrique en calculs plus maniables sur le miroir, fournit des équivalences catégorielles organisant les invariants, et dévoile des liens structurels profonds entre géométrie symplectique et algébrique.

Inversion

La réversion conceptuelle échange les rôles de la géométrie complexe et symplectique : des objets qui sont des faisceaux d'un côté correspondent à des lagrangiens de l'autre ; l'échec d'une équivalence d'un côté met en lumière des obstructions (par ex. bulle de disques) de l'autre côté.

Limite

Formulée principalement pour les variétés de Calabi–Yau et certaines généralisations singulières ou logarithmiques ; les extensions aux variétés de Fano ou aux modèles Landau–Ginzburg exigent des énoncés modifiés. Elle exclut les variétés arbitraires dépourvues de construction miroir ou de fondements analytiques ou catégoriels nécessaires.

Tension sémantique

Tension entre les prédictions énumératives issues de la physique et les formulations homologiques/catégorielles des mathématiciens : l'une est computationnelle et conjecturale, l'autre structurale et catégorielle ; tension aussi entre l'équivalence formelle de catégories et l'existence géométrique ou analytique concrète des correspondances.

Synthèse

La symétrie miroir est le principe selon lequel une variété de Calabi–Yau et sa miroir codent la même information géométrique en langages duals—symplectique et complexe—souvent réalisé comme une équivalence entre la catégorie de Fukaya et la catégorie dérivée des faisceaux cohérents, avec correspondance des invariants énumératifs et des données de déformation.