Un système global de coordonnées réelles sur l'espace de Teichmüller obtenu en choisissant une décomposition en pantalons d'une surface et en enregistrant, pour chaque courbe de la décomposition, un paramètre de longueur positif (la longueur géodésique) et un paramètre de torsion réel (quantité de torsion relative), fournissant en tout 6g−6 coordonnées réelles pour une surface fermée de genre g≥2.

Principe

Décomposer une surface hyperbolique en paires de pantalons le long d'une collection maximale de géodésiques fermées simples disjointes ; les modules de la surface sont capturés par les longueurs de ces géodésiques et par les paramètres de torsion de Fenchel–Nielsen qui spécifient comment on recolle les bords des pantalons.

Démonstration

Exemple : pour une surface fermée de genre 2 choisir trois géodésiques fermées simples disjointes donnant une décomposition en pantalons ; les trois longueurs et les trois paramètres de torsion déterminent un point unique de l'espace de Teichmüller et donc une métrique hyperbolique marquée unique sur la surface.

Mauvaise application

Considérer les coordonnées de Fenchel–Nielsen comme canoniques et indépendantes du choix de décomposition — des décompositions différentes donnent des cartes coordonnées différentes et il faut suivre les changements de coordonnées ; confondre le paramètre continu de torsion avec les twists discrets de Dehn du groupe modulaire.

Conséquence

Fournit des coordonnées réelles analytiques globales sur l'espace de Teichmüller, facilite l'étude de l'action du groupe modulaire, des flots d'earthquake et de torsion, et donne une paramétrisation concrète utile pour construire des métriques et analyser les phénomènes de dégénérescence.

Inversion

Inversion : au lieu d'utiliser une décomposition coupe-et-recolle en pantalons pour paramétrer l'espace de Teichmüller, on peut utiliser des coordonnées complexe-analytiques comme l'immersion de Bers ou des coordonnées de cisaillement ; ces paramétrages alternatifs mettent l'accent sur la structure complexe ou les feuilletages mesurés plutôt que sur les données longueur–torsion.

Limite

S'applique aux surfaces hyperboliques de type fini (fermées ou à pointes) où existe une décomposition maximale en pantalons ; des ajustements sont nécessaires pour les surfaces de type infini, les orbifolds, ou lorsqu'on impose des structures supplémentaires (par ex. laminations mesurées marquées) qui exigent d'autres espaces de paramètres.

Tension sémantique

Tension entre les coordonnées de Fenchel–Nielsen (longueur–torsion, réel-analytique, géométrique) et les systèmes de coordonnées complexe-analytiques (Bers, Fenchel–Nielsen complexe) ou les coordonnées de cisaillement/laminations de Thurston ; chacun met en relief différentes structures et possède des propriétés analytiques distinctes.

Synthèse

Les coordonnées de Fenchel–Nielsen transforment une décomposition géométrique d'une surface en une liste finie de paramètres de longueur et de torsion qui paramètrent globalement l'espace de Teichmüller, convertissant une géométrie coupe-et-recolle en un système de coordonnées explicite pour les modules de surfaces hyperboliques.