Un résultat de rigidité affirmant que pour des variétés hyperboliques complètes de volume fini de dimension au moins trois, la structure géométrique est déterminée de manière unique par le groupe fondamental : toute isomorphie entre groupes fondamentaux est réalisée par une isométrie entre les variétés (la géométrie est donc fixée par le groupe).

Principe

Principe organisateur : en dimensions ≥ 3 les géométries homogènes à courbure négative sont rigides : les groupes discrets d'isométries de l'espace hyperbolique n'ont pas de déformations non triviales modifiant la structure hyperbolique du quotient, de sorte que les données algébriques (π1) fixent les données géométriques.

Démonstration

Énoncé concret : si M et N sont des variétés hyperboliques fermées de dimension n≥3 et φ: π1(M)→π1(N) est un isomorphisme, alors il existe une isométrie unique f: M→N induisant φ sur les groupes fondamentaux. Par conséquent, le volume et les longueurs des géodésiques fermées sont des invariants topologiques.

Mauvaise application

Appliquer la rigidité de Mostow en dimension deux où la théorie de Teichmüller produit des déformations non triviales, ou supposer que le théorème vaut pour des courbures négatives variables ou pour des géométries autres que l'hyperbolique réel sans vérifier les hypothèses.

Conséquence

Les invariants topologiques (par exemple la classe d'isomorphisme de π1) déterminent des invariants géométriques (la métrique à isométrie près), ce qui implique, par exemple, que le volume est un invariant topologique et élimine les modules continus de structures hyperboliques en dimensions ≥3.

Inversion

La version inverse met en lumière le contraste en basse dimension : en dimension deux l'application de la topologie vers la géométrie n'est pas injective — des surfaces de même type topologique admettent des familles continues de métriques hyperboliques non isométriques (espace de Teichmüller), témoignant de la flexibilité plutôt que de la rigidité.

Limite

S'applique aux variétés hyperboliques complètes de volume fini en dimension réelle ≥3 (Mostow–Prasad étend au cas non compact de volume fini) ; il exclut la dimension 2, les métriques à courbure variable et les autres espaces localement symétriques sauf si les hypothèses sont adaptées.

Tension sémantique

Tension entre rigidité (Mostow) et flexibilité (Teichmüller) : les deux traitent la relation entre données de groupes discrets et structures géométriques, mais conduisent à des comportements opposés selon la dimension et le contexte géométrique.

Synthèse

La rigidité de Mostow affirme qu'en géométrie hyperbolique réelle de dimension trois et plus, la donnée algébrique du groupe fondamental prescrit complètement la structure métrique géométrique de la variété, éliminant les déformations continues et faisant de la géométrie un invariant topologique.