Théorème identifiant la cohomologie de De Rham d'une variété lisse, définie via les formes différentielles, avec sa cohomologie singulière (ou simpliciale) à coefficients réels, par l'accouplement d'intégration.

Principe

L'intégration de formes différentielles fermées sur des chaînes singulières induit un isomorphisme entre la cohomologie du complexe différentiel des formes et les groupes de cohomologie topologique à coefficients réels.

Démonstration

Pour le cercle S^1 l'espace des 1-formes fermées modulo les formes exactes est unidimensionnel et l'intégrale autour de la boucle fournit un isomorphisme avec H^1(S^1; R) ≅ R ; des primitives explicites et le calcul des périodes montrent la correspondance.

Mauvaise application

Employer l'énoncé pour des espaces non lisses, pour des coefficients autres que R sans adaptation, ou confondre la cohomologie de De Rham avec la cohomologie à coefficients arbitraires conduit à l'erreur ; négliger l'orientation ou la régularité invalide l'accouplement par intégration.

Conséquence

Permet de calculer des invariants topologiques avec des outils différentiels et la théorie elliptique ; montre que des objets purement analytiques (formes différentielles modulo exactes) captent la cohomologie topologique sur R.

Inversion

La cohomologie singulière ne présente pas nécessairement de représentants différentiels ou de structure analytique ; le théorème n'affecte pas aux classes topologiques arbitraires des formes lisses canoniques si la variété n'est pas lisse.

Limite

Nécessite une variété lisse (ou une structure lisse adéquate) ; pour des espaces singuliers, orbifolds ou schémas il faut utiliser des théories adaptées (par ex. cohomologie de faisceaux, formes distributionnelles) et l'isomorphisme classique de De Rham peut échouer.

Tension sémantique

Se situe entre descriptions analytiques/différentielles et invariants algébriques/topologiques ; la tension apparaît lorsqu'on tente de généraliser l'isomorphisme au-delà du contexte lisse et à coefficients réels.

Synthèse

Le théorème de De Rham affirme que, sur une variété lisse, la cohomologie calculée à partir des formes différentielles coïncide avec la cohomologie topologique à coefficients réels, réalisée concrètement par l'intégration sur les cycles.