Un sommet dans un complexe polyédral ou simplicial dont les faces ou cellules incidentes ne forment pas un voisinage homéomorphe à une boule (ou demi‑boule), de sorte que la condition de variété est violée en ce point et que la topologie locale est singulière.

Principe

Un sommet non-manifold résulte d'un motif d'incidence anormal : soit le lien du sommet est déconnecté, soit il n'est pas une sphère (ou un disque pour les points de bord), soit les cellules se rencontrent de façon à empêcher un voisinage de type boule, entraînant branchements, pincements ou jonctions singulières.

Démonstration

Dans un maillage tétraédrique, un sommet où deux coques autrement disjointes se touchent seulement en ce sommet est non-manifold : une petite sphère centrée sur le sommet intersecte le maillage en plusieurs composantes déconnectées, si bien que le lien n'est pas une sphère unique.

Mauvaise application

Employer des schémas numériques, subdivisions de maillage ou simplifications topologiques qui supposent des voisinages de sommet variétaux sur des complexes contenant des sommets non-manifold provoque une connectivité d'éléments incorrecte, des invariants topologiques invalides ou des instabilités de simulation.

Conséquence

La détection de sommets non-manifold permet des remèdes : affinement local ou séparation du sommet, chirurgie topologique pour séparer les composantes incidentes, ou algorithmes traitant le cas particulier afin de préserver la correction pour des applications visées comme la simulation ou l'extrusion.

Inversion

Le cas inverse est un sommet variétal dont les cellules incidentes forment un voisinage homéomorphe à une boule (ou demi‑boule au bord), garantissant une topologie locale bien comportée et la connectivité du lien.

Limite

Concerne les complexes combinatoires et PL ainsi que les maillages polygonaux/tétraédriques ; exclut les singularités lisses non captées par les schémas d'incidence cellulaire et ne quantifie pas à lui seul la pathologie globale de l'incrustation.

Tension sémantique

Tension entre plongement géométrique et topologie combinatoire : un sommet peut paraître géométriquement irrégulier tout en étant combinatoirement variétal, ou inversement, de sorte que les tests de lien combinatoire et les tests de position géométrique sont tous deux pertinents.

Synthèse

Un sommet non-manifold est une singularité locale combinatoire‑topologique où le lien du sommet n'est pas une sphère ni un disque ; il signale des branchements ou jonctions empêchant l'emploi d'algorithmes fondés sur la variété et impose la réparation du maillage, des représentations de données alternatives ou des algorithmes prenant explicitement en charge ces singularités.