Étude des variétés différentiables munies d'un tenseur métrique définie positive (un produit scalaire variant lisse sur les espaces tangents) qui définit longueurs, angles, géodésiques et courbure ; elle analyse les propriétés géométriques locales et globales découlant de cette métrique riemannienne.

Principe

Organiser la géométrie par une métrique riemannienne g : une forme bilinéaire lisse définie positive sur chaque espace tangent permettant la mesure, la dérivation covariante et la définition des tenseurs de courbure ; les énoncés géométriques découlent des propriétés de g et de sa connexion de Levi-Civita.

Démonstration

Sur une variété riemannienne de dimension deux, on calcule la courbure gaussienne à partir de la métrique ; les géodésiques sont des courbes localement minimisantes de longueur satisfaisant l'équation géodésique. Exemples : la sphère avec la métrique canonique, des surfaces de révolution, et les métriques induites par des plongements euclidiens.

Mauvaise application

Considérer toute variété lisse comme riemannienne sans préciser de métrique, ou supposer des propriétés telles que courbure constante ou complétude sans vérification ; appliquer une intuition euclidienne sur les parallèles ou la platitude globale là où la courbure métrique est non nulle.

Conséquence

Avec une métrique riemannienne on définit des chemins localement minimaux uniques (géodésiques), on calcule la courbure sectionnelle et de Ricci qui influent sur la topologie via des théorèmes de comparaison, et on étudie le flux de la chaleur, les propriétés spectrales et les phénomènes de rigidité liés à la métrique.

Inversion

Revenir à une perspective purement topologique ou lisse enlève l'information métrique ; passer à des géométries pseudo-riemanniennes remplace la définie positivité par des signatures indéfinies, modifiant les propriétés causales et extrémales des géodésiques.

Limite

Portée : variétés lisses munies de métriques lisses définies positives ; exclut les métriques pseudo-riemanniennes, les métriques non lisses, les graphes métriques discrets et les structures purement affines ou projectives sans produit scalaire sur les espaces tangents.

Tension sémantique

Tension avec la géométrie pseudo-riemannienne (changement de signature) et avec la géométrie différentielle sans métrique : certains résultats exigent la définie positivité, d'autres s'étendent à des classes plus larges ; l'intuition physique peut induire en erreur en grande dimension ou en absence de complétude.

Synthèse

La géométrie riemannienne caractérise la géométrie d'une variété par un produit scalaire variant lisse sur les tangentes : cette métrique détermine longueurs, angles, géodésiques et courbure, reliant les données tensorielles locales à des conséquences topologiques et analytiques globales.