Une technique de géométrie différentielle qui associe à chaque point d'une variété une base (repère) variant doucement et adaptée à la géométrie, utilisée pour calculer des invariants, exprimer des équations de structure et simplifier des problèmes de classification et d'équivalence sous l'action d'un groupe (repères mobiles de Cartan).

Principe

Adaptation locale et normalisation : choisir un repère dépendant régulièrement de la position de sorte que les degrés de liberté du groupe soient normalisés pas à pas, produisant des invariants différentiels et des équations de structure (torsion, courbure) qui codent la géométrie sous l'action du groupe de transformations.

Démonstration

Sur une courbe lisse du plan, le repère de Frenet formé par le vecteur tangent et le vecteur normal paramétrés par la longueur d'arc est un repère mobile : ses équations de structure donnent la courbure comme invariant scalaire. Pour des problèmes de dimension supérieure, appliquer la normalisation de Cartan permet d'obtenir des invariants caractérisant l'équivalence locale de sous-variétés sous le groupe considéré.

Mauvaise application

Tenter une normalisation par repères mobiles sans maîtriser les positions singulières ou nongénériques (où les choix de normalisation échouent) ou ignorer la nécessité de travailler dans une catégorie régulière et de prendre en compte les stabilisateurs discrets peut engendrer des « invariants » fallacieux ou faire omettre des obstructions globales.

Conséquence

Fournit un algorithme systématique pour produire des ensembles complets d'invariants différentiels locaux, décider de l'équivalence sous des groupes de symétrie et dériver des formes canoniques pour des structures géométriques ; elle unifie de nombreuses constructions classiques (repères de Frenet, repères de corps rigide).

Inversion

Vue duale : l'approche fondée sur des coordonnées fixes : au lieu d'adapter un repère pour simplifier l'action du groupe, on fixe des coordonnées et on traite l'action du groupe sur les expressions coordonnées. L'inversion souligne les formules en coordonnées et les questions de recouvrements globaux plutôt que les étapes intrinsèques de normalisation.

Limite

S'applique en contextes lisses (C^∞ ou analytiques) avec un groupe de Lie agissant régulièrement ; sont exclus les espaces purement discrets ou fortement singuliers, les contextes sans régularité suffisante, ou les problèmes où la topologie globale empêche l'extension des repères locaux.

Tension sémantique

La tension apparaît entre la construction intrinsèque d'invariants (repères mobiles) et les calculs extrinsèques en coordonnées : les deux produisent des invariants mais diffèrent par naturalité, facilité de calcul et possibilité d'extension globale ; le choix dépend de la régularité et du type de groupe.

Synthèse

La méthode des repères mobiles consiste à choisir des bases adaptées variant doucement le long d'une variété pour normaliser les degrés de liberté de symétrie, produisant des invariants différentiels et des équations de structure qui classifient et simplifient les problèmes géométriques sous l'action de groupes.