Un théorème classique de la géométrie projective : étant données deux droites distinctes et trois points A,B,C sur la première et A',B',C' sur la seconde, les trois points d'intersection des croisement (par exemple AB'∩A'B, AC'∩A'C, BC'∩B'C) sont colinéaires. Le théorème vaut dans les plans projectifs coordinatisables sur un corps commutatif (plans pappiens).

Principe

Les incidences issues de la connexion de points sur deux droites engendrent de nouvelles colinéarités dont l'existence traduit une structure algébrique commutative sous‑jacente des coordonnées ; le motif combinatoire d'incidence impose la colinéarité indépendamment de toute métrique.

Démonstration

Prendre deux droites projectives ℓ et m distinctes avec A,B,C sur ℓ et A',B',C' sur m. Construire les trois points d'intersection P = AB'∩A'B, Q = AC'∩A'C, R = BC'∩B'C et vérifier que P,Q,R sont colinéaires. Dans un modèle de coordonnées sur un corps, écrire les coordonnées des six points et vérifier la condition de déterminant qui garantit la colinéarité.

Mauvaise application

Appliquer Pappus dans un plan projectif non pappien (non coordinatisable sur un corps commutatif), ou choisir des points dégénérés qui font coïncider les intersections construites, rend la conclusion invalide. Le considérer comme une assertion métrique plutôt que purement d'incidence prête à confusion.

Conséquence

Quand il est valable, le théorème de Pappus fournit une contrainte d'incidence puissante qui implique la commutativité de l'anneau de coordonnées et permet de nombreuses constructions projectives classiques ; il sert de diagnostic sur la nature algébrique d'un plan projectif et génère des relations de colinéarité utilisées en démonstrations et constructions.

Inversion

Nier Pappus — configurations où les trois points construits ne sont pas colinéaires — signale un plan non pappien et donc une algèbre de coordonnées non commutative ; inversement, imposer la colinéarité permet de déduire des conditions de commutativité sur les coordonnées.

Limite

Valable dans les plans projectifs pappiens (coordinatisables par un corps commutatif) et dans le plan projectif réel ou complexe ; il peut échouer dans des plans projectifs non‑pappiens ou exotiques. Les placements dégénérés (points superposés, droites égales) doivent être exclus ou interprétés via la clôture projective.

Tension sémantique

Tension avec Desargues : ce sont deux théorèmes d'incidence projective mais Pappus a des conséquences algébriques plus fortes (Pappus implique la commutativité), de sorte que satisfaire Desargues tout en échouant pour Pappus met en évidence des coordinatisations non commutatives.

Synthèse

Le théorème de Pappus affirme une colinéarité particulière obtenue en reliant croisé des points sur deux droites dans les plans projectifs pappiens ; il agit à la fois comme loi d'incidence combinatoire et critère algébrique révélant la commutativité du corps de coordonnées.