Un théorème fondamental de la géométrie projective : deux triangles sont en perspective depuis un point (les droites joignant les sommets correspondants concourent en un point) si et seulement s'ils sont en perspective depuis une droite (les trois points d'intersection des côtés correspondants sont colinéaires), sous les axiomes d'incidence habituels d'un plan projectif.

Principe

Les relations d'incidence en géométrie projective obéissent à une dualité : la perspectivité pointuelle et la perspectivité linéaire sont équivalentes sous projection projective, ce qui reflète un plongement tridimensionnel sous‑jacent ou une coordinatisation par un anneau divisionnaire dans les plans de Desargues.

Démonstration

Placer deux triangles dans l'espace tridimensionnel avec sommets correspondants sur trois droites concourantes en un point ; les projeter sur un plan pour obtenir deux triangles plans en perspective depuis un point. Calculer les intersections des côtés correspondants et vérifier leur colinéarité pour illustrer le théorème. Réciproquement, à partir de la colinéarité reconstruire un point de perspectivité via un relèvement 3D lorsque le plan est de Desargues.

Mauvaise application

Supposer la conclusion de Desargues dans une structure d'incidence arbitraire ; le théorème peut échouer dans des plans projectifs non‑de Desargues, donc l'utiliser sans vérifier la coordinatisation projective est injustifié. De même, gérer sans soin des cas dégénérés (côtés correspondants parallèles, points d'intersection confondus) peut conduire à des erreurs.

Conséquence

Lorsqu'il est valable, le théorème de Desargues relie des configurations planes à un point de vue projectif tridimensionnel et légitime de nombreuses constructions et arguments coordonnés ; il sert de test pour savoir si un plan projectif est coordinatisable par un anneau divisionnaire (Desarguesien).

Inversion

L'inversion échange les rôles de « perspective depuis un point » et « perspective depuis une droite » ; l'équivalence logique du théorème devient un trait d'union entre incidences ponctuelles et linéaires. Nier le théorème conduit à des géométries non‑desarguésiennes où cette équivalence échoue, révélant d'autres structures d'incidence.

Limite

Valable dans tous les plans projectifs de Desargues (issus d'un espace vectoriel 3‑dimensionnel sur un corps ou anneau divisionnaire) et dans les modèles euclidiens/projectifs qui en dérivent. Il peut échouer dans des plans projectifs exotiques ; les dégénérescences (sommets confondus, côtés parallèles — traités comme se coupant à l'infini) exigent la clôture projective et une gestion attentive des points à l'infini.

Tension sémantique

Tension entre Desargues et les intuitions euclidiennes élémentaires : de nombreuses démonstrations euclidiennes font intervenir tacitement un plongement 3D non justifiable dans n'importe quel plan projectif. De plus, Desargues se met en relation avec Pappus : Pappus est plus fort (implique la commutativité), donc satisfaire Desargues mais pas Pappus distingue la structure algébrique de l'anneau de coordonnées.

Synthèse

Le théorème de Desargues affirme l'équivalence entre la perspectivité par un point et la perspectivité par une droite pour deux triangles dans les plans projectifs de Desargues, établissant un lien profond entre incidence plane et coordinatisation projective/tridimensionnelle et délimitant la frontière entre géométries classiques et exotiques.