La mesure bidimensionnelle de la taille d'une région dans un plan, généralement donnée comme la valeur d'une intégrale de Lebesgue ou de Riemann sur cette région et exprimée en unités carrées.

Principe

L'aire se calcule en décomposant une région en éléments infinitésimaux et en sommant leurs mesures ; pour les régions régulières cela équivaut à intégrer l'élément d'aire induit par la métrique planaire.

Démonstration

Un cercle de rayon r a pour aire πr², obtenue en intégrant l'élément radial ou en prenant la limite des aires de polygones inscrits lorsque le nombre de côtés tend vers l'infini.

Mauvaise application

Confondre l'aire et le périmètre (prendre la longueur de la frontière pour une aire) ou appliquer une formule d'aire plane directement à une surface courbe dans l'espace tridimensionnel sans tenir compte de la métrique de surface.

Conséquence

Lorsque l'aire est correctement définie et calculée, elle détermine des grandeurs proportionnelles à la taille comme la masse pour une densité uniforme, la probabilité planaire et les densités intégrales sur des régions.

Inversion

Au lieu de mesurer l'étendue intérieure (aire), mesurer seulement la longueur unidimensionnelle de la frontière ; on inverse ainsi le point de vue du contenu bidimensionnel vers la mesure unidimensionnelle.

Limite

S'applique aux sous-ensembles d'une variété bidimensionnelle munie d'une métrique ou d'une mesure ; les ensembles pathologiques (certains ensembles non mesurables, certains fractals) exigent des précautions en théorie de la mesure et peuvent ne pas posséder d'aire classique.

Tension sémantique

Le terme aire peut être employé familièrement pour désigner l'« étendue » ou formellement comme une mesure ; cela entre en tension avec des termes voisins comme aire de surface (mesure bidimensionnelle d'une surface plongée en 3D) et avec des notions de théorie de la mesure qui généralisent ou restreignent le concept classique.

Synthèse

L'aire est la mesure canonique bidimensionnelle de la taille plane : elle se calcule par intégration de l'élément d'aire sur une région, sert de base aux calculs de densité et de probabilité sur le plan, et doit être distinguée de la longueur et des mesures de surface.