Une mesure unidimensionnelle de l’étendue d’une courbe ou d’un segment entre deux points dans un cadre géométrique, calculée en intégrant la vitesse (norme de la dérivée) d’une courbe paramétrée par rapport à une métrique choisie.

Principe

Additionner des distances infinitésimales : la longueur d’une courbe différentiable est l’intégrale sur l’intervalle de paramétrisation de la norme de sa dérivée par rapport à la métrique ambiante, donnant un scalaire indépendant des coordonnées une fois la métrique spécifiée.

Démonstration

Dans l’espace euclidien, la longueur d’une courbe lisse γ(t) pour t dans [a,b] est ∫_a^b |γ'(t)| dt ; pour un segment rectiligne entre deux points cela réduit à la distance euclidienne entre les extrémités.

Mauvaise application

Utiliser directement des différences de coordonnées comme longueurs sur une variété sans tenir compte de la métrique ; ces calculs peuvent être erronés si la métrique ambiante n’est pas euclidienne ou si la paramétrisation n’est pas par arc‑long.

Conséquence

Fournit une notion métrique de distance le long des courbes et sert de fondement aux définitions de géodésique, périmètre et arc‑long ; elle est invariante par reparamétrisation via des difféomorphismes préservant l’orientation et dépend de la structure métrique choisie.

Inversion

Au lieu d’intégrer la norme de la vitesse, on peut considérer d’autres fonctionnelles de courbe (par exemple l’énergie ∫|γ'|^2), qui sont liées mais présentent des propriétés analytiques différentes ; minimiser l’énergie implique souvent minimiser la longueur avec des différences de régularité.

Limite

S’applique aux courbes différentiables (ou rectifiables) dans un espace métrique ou riemannien ; exclut les courbes continues non rectifiables dont la variation totale est infinie et les ensembles discrets où la longueur n’est pas définie sans structure supplémentaire.

Tension sémantique

Concepts proches : 'distance' (longueur minimale entre points) et 'énergie' (intégrale du carré de la vitesse) ; la longueur est une intégrale géométrique invariante par reparamétrisation, tandis que l’énergie dépend de la paramétrisation et de la commodité analytique.

Synthèse

La longueur mesure l’accumulation des déplacements infinitésimaux d’une courbe selon une métrique donnée, fournissant la taille canonique unidimensionnelle des segments et chemins qui soutient les notions de distance, géodésiques et périmètre.