Le système dynamique sur le fibré tangent (souvent restreint au fibré tangent unitaire) d’une variété riemannienne dont les trajectoires sont les relèvements tangentiels des géodésiques paramétrées par l’arc‑long ; il fait évoluer le point d’application et le vecteur vitesse en suivant le mouvement géodésique.

Principe

Élever le mouvement géodésique à l’espace des phases : pour une position initiale et un vecteur tangent unitaire donnés, suivre la géodésique unique déterminée par ces données et considérer l’évolution conjointe de la position et de la vitesse comme un flux sur le fibré tangent unitaire.

Démonstration

Sur une surface close munie d’une métrique riemannienne, choisir un point et un vecteur tangent unitaire ; le flux géodésique transporte ce vecteur le long de la géodésique correspondante, produisant une courbe dans le fibré tangent unitaire qui projette la géodésique sur la surface et conserve la vitesse riemannienne.

Mauvaise application

Confondre le flux géodésique avec un flux de gradient d’un potentiel ou supposer que le flux géodésique préserve toute mesure ; il préserve la mesure de Liouville induite par la métrique mais pas nécessairement des mesures arbitraires et ses propriétés de stabilité diffèrent de celles des dynamiques de gradient.

Conséquence

Encode des informations géométriques et dynamiques : les propriétés du flux (récurrence, mélange, stabilité) reflètent la courbure et la topologie de la variété de base et sont centrales en théorie ergodique, géométrie spectrale et mécanique classique.

Inversion

La renversement temporel envoie le vecteur vitesse unitaire sur son opposé et donne le flux géodésique dans la direction inverse ; de nombreuses propriétés qualitatives sont symétriques par renversement temporel, tandis que certaines modifications statistiques ou dissipatives ne le sont pas.

Limite

Défini pour les variétés riemanniennes (ou pseudo‑riemanniennes) munies d’une notion de géodésique et d’un fibré tangent ; exclut des flux arbitraires sur des fibrés qui ne proviennent pas des équations géodésiques et exige une régularité suffisante garantissant existence et unicité des géodésiques.

Tension sémantique

Termes voisins : « géodésique » (une courbe individuelle) et « flot hamiltonien » (un flot en espace des phases) : le flux géodésique est un flot hamiltonien particulier déterminé par l’énergie cinétique de la métrique, mais il n’est pas équivalent à tout flot hamiltonien avec potentiel.

Synthèse

Le flux géodésique est l’évolution naturelle en espace des phases engendrée par le suivi des géodésiques à vitesse unité, transformant les notions géométriques des chemins les plus droits en un système dynamique dont le comportement reflète la courbure et la topologie de la variété.