Un noyau fonctionnel représentant l'inverse (ou un paramétrix) d'un opérateur différentiel linéaire sur un domaine avec conditions aux limites données ; il sert à construire des solutions de problèmes aux limites linéaires par superposition des réponses à des sources ponctuelles.

Principe

Résoudre des EDP linéaires non homogènes en réduisant le problème à l'action d'un noyau intégral sur la source : l'opérateur différentiel appliqué au noyau donne une distribution delta tandis que le noyau encode les conditions aux limites.

Démonstration

Pour l'équation de Poisson Δu = f sur un domaine borné avec conditions de Dirichlet, la solution s'écrit u(x) = ∫_Ω G(x,y) f(y) dy + termes de bord, où G(x,y) est la fonction de Green vérifiant Δ_x G(x,y) = δ(x−y) et nulle sur le bord dans le cas de Dirichlet.

Mauvaise application

Employer une fonction de Green calculée pour un autre domaine ou d'autres conditions aux limites, ou l'utiliser lorsque l'opérateur n'est pas inversible (par exemple si zéro appartient au spectre), ce qui conduit à des représentations de solutions incorrectes ou divergentes.

Conséquence

Lorsqu'elle est valable, la fonction de Green fournit une représentation intégrale explicite des solutions, révèle la structure de singularité près de la source et relie les solutions d'EDP à la théorie du potentiel et aux données spectrales.

Inversion

La version inverse consiste à prendre la solution fondamentale en espace libre et à ignorer les ajustements de bord : on obtient la solution fondamentale (espace libre) au lieu de la fonction de Green adaptée au domaine, ce qui ne satisfait pas les conditions aux limites imposées.

Limite

S'applique aux opérateurs différentiels linéaires (elliptiques, certaines formulations paraboliques) sur des domaines donnés avec conditions aux limites linéaires ; exclut les opérateurs non linéaires, les opérateurs sans inverse adapté et les problèmes où seules des solutions faibles ou distributionnelles existent sans représentation par noyau.

Tension sémantique

Une tension existe entre « fonction de Green » (noyau inverse dépendant du domaine et du bord) et « solution fondamentale » (inverse en espace libre) ou « noyau résolvant » ; on les confond parfois lorsque les effets de bord sont négligeables ou en espace entier.

Synthèse

La fonction de Green unit la notion d'inverse d'un opérateur différentiel linéaire, la réponse à une source ponctuelle et l'influence de la géométrie du domaine et des conditions aux limites, fournissant un noyau intégral qui construit les solutions par superposition et encode les caractéristiques singulières et spectrales.