Une mesure μ sur un domaine (souvent le demi-espace supérieur ou le disque unité) satisfaisant une condition de Carleson : pour des cubes ou arcs Q sur la frontière la mesure de la région de Carleson associée (tente ou région de Whitney) est majorée par C|Q| ; cette condition caractérise les traces, plongements et comportements au bord des espaces harmoniques et holomorphes.

Principe

Contrôler uniformément la masse de la mesure dans des régions d'approche non tangentielles sous des ensembles du bord par la taille du bord afin que les théorèmes d'extension, de trace et d'inclusion s'appliquent et que les normes au bord reflètent les intégrales intérieures.

Démonstration

Sur le demi-plan supérieur la condition de Carleson μ({(x,t): x∈I, 0

Mauvaise application

Supposer que la simple finitude de μ ou une petite moyenne ponctuelle implique le contrôle de Carleson ; sans contrôle uniforme sur tous les cubes du bord les conclusions de plongement et de trace échouent, et des contre-exemples montrent des concentrations locales importantes qui détruisent les estimations attendues.

Conséquence

Une mesure de Carleson fournit des applications de trace bornées des espaces intérieurs vers les espaces du bord, contrôle les fonctions maximales non tangentielles et les intégrales d'aire, et donne souvent des conditions nécessaires et suffisantes pour la bornitude de certains opérateurs.

Inversion

Une mesure concentrée au bord ou dont la croissance dans les tentes est supralinéaire contraste avec une mesure de Carleson : de telles mesures violent les théorèmes de plongement et de trace et produisent un comportement pathologique au bord au lieu de traces contrôlées.

Limite

La condition est géométrique et dépend des régions d'approche choisies et de la métrique sous-jacente ; elle exclut des mesures concentrées localement de manière à violer les estimations de tentes, et doit être adaptée sur des domaines non euclidiens ou en cadres pondérés.

Tension sémantique

Tension avec d'autres conditions de taille (poids A∞, contenu de Hausdorff, conditions de capacité) : certaines impliquent la condition de Carleson ou en sont impliquées dans des cadres particuliers, mais aucune n'est équivalente en général, d'où l'importance de distinguer l'hypothèse minimale pour des bornitudes d'opérateurs.

Synthèse

Une mesure de Carleson borne uniformément la masse dans des régions d'approche adaptées au bord par la taille du bord ; c'est la condition géométrique canonique reliant intégrales intérieures et traces au bord et gouvernant plongements, bornitude d'opérateurs et régularité au bord en analyse harmonique et complexe.