Un point de discontinuité où une fonction n'admet pas de limite (ni unilatérale ni globale) et ne peut pas être rendue continue en redéfinissant sa valeur en ce point ; l'oscillation autour du point ne s'annule pas.

Principe

La discontinuité essentielle se caractérise par une oscillation persistante ou la divergence des limites unilatérales ; contrairement aux discontinuités amovibles il n'existe pas de valeur unique qui restaure la continuité, et contrairement aux sauts simples l'ensemble des valeurs d'adhérence est non trivial ou dense.

Démonstration

La fonction f(x)=sin(1/x) pour x≠0 (quelle que soit la valeur assignée en 0) n'a pas de limite quand x→0 et donc 0 est une discontinuité essentielle ; l'ensemble d'adhérence est l'intervalle [−1,1]. Un autre exemple extrême est la fonction de Dirichlet égale à 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels, discontinue partout.

Mauvaise application

Qualifier une simple discontinuité par saut (avec limites unilatérales distinctes) d'essentielle, ou croire que redéfinir la fonction au point rétablit la continuité quand l'oscillation persiste arbitrairement près du point.

Conséquence

Les discontinuités essentielles empêchent une extension ponctuelle en une fonction continue et compliquent l'approximation locale ; elles influent sur les propriétés d'intégration, les modes de convergence et l'applicabilité de certains théorèmes nécessitant des limites ponctuelles.

Inversion

La discontinuité amovible est l'inverse : la limite existe et une seule redéfinition au point rend la fonction continue ; les sauts et les pôles sont d'autres inverses avec une structure locale différente.

Limite

La notion s'applique aux fonctions à valeurs réelles ou complexes pointwise ; elle exclut les singularités distributionnelles, le comportement des fonctions généralisées et la classification des singularités pour fonctions analytiques (pôles, singularités essentielles en analyse complexe sont distinctes bien qu'analogues).

Tension sémantique

En analyse réelle, on peut confondre discontinuité essentielle et singularité essentielle en analyse complexe ; cette dernière concerne des singularités non polaires de fonctions holomorphes avec image dense, un concept différent mais apparenté par l'irréductibilité du comportement local.

Synthèse

Une discontinuité essentielle marque un point où les valeurs locales d'une fonction restent irrémédiablement instables : aucune correction ponctuelle ne rétablit la continuité, et l'oscillation persistante ou l'ensemble d'adhérence dense nécessite d'autres outils analytiques pour l'approximation et l'intégration.