Une singularité géométrique qui apparaît lorsqu'au moins deux segments de frontière se rejoignent en formant un angle non triviale ; la géométrie locale entraîne une perte de régularité des solutions des problèmes aux limites (par exemple pour les EDP elliptiques) au voisinage de ce point.

Principe

L'incompatibilité entre une paramétrisation régulière de la frontière et l'angle de réunion empêche une représentation par un développement globalement lisse ; des puissances singulières ou des modes angulaires apparaissent et réduisent la régularité dans les espaces de Sobolev ou de Hölder selon l'ouverture angulaire.

Démonstration

Pour l'équation de Laplace dans un secteur plan d'angle d'ouverture ω, les fonctions harmoniques admettent des termes en série comme r^{kπ/ω} sin(kπθ/ω) ; l'exposant positif le plus petit π/ω règle le comportement singulier dominant au voisinage de l'angle.

Mauvaise application

Traiter un angle comme si la frontière était lisse et appliquer sans changement les estimations de régularité elliptique jusqu'au coin, ce qui conduit à des majorations d'erreur incorrectes pour les méthodes numériques.

Conséquence

L'analyse correcte exige des espaces à poids, des développements singuliers locaux, un raffinement de maillage au voisinage du coin en éléments finis, ou l'extraction explicite des modes singuliers pour restaurer l'ordre d'approximation.

Inversion

Si la frontière est lissée de sorte que l'angle de réunion tende vers π (transition régulière), la singularité d'angle disparaît et la régularité classique jusqu'à la frontière est retrouvée.

Limite

Le terme s'applique aux frontières à morceaux lisses se rencontrant sous un angle ; il exclut les pointes cuspidales issues d'une dégénérescence tangente, les singularités intérieures non liées à la frontière et les irrégularités réparables par les données aux limites.

Tension sémantique

On le confond souvent avec le point de frontière irrégulier en théorie du potentiel : la singularité d'angle est géométrique et concerne la régularité des solutions, tandis que l'irrégularité potentielle concerne l'atteinte des valeurs aux limites et les propriétés probabilistes d'atteinte.

Synthèse

La singularité d'angle est le mécanisme géométrique par lequel la géométrie angulaire impose des composantes non lisses aux solutions ; l'identification des exposants singuliers permet de choisir des espaces adaptés, d'affiner les discrétisations ou de soustraire les parties singulières pour une analyse précise.