Un point tel que tout voisinage contient une infinité de points distincts d'un ensemble donné ; équivalemment un point limite duquel l'ensemble n'est pas isolé, utilisé pour décrire le comportement limite de suites et de sous-ensembles.

Principe

Saisir un comportement limite non discret : les points d'accumulation indiquent que l'ensemble possède d'autres points arbitrairement proches et sont centraux pour l'adhérence, l'ensemble dérivé et les arguments de compacité.

Démonstration

La suite 1/n dans R a 0 comme point d'accumulation puisque tout voisinage de 0 contient une infinité de termes 1/n. Les rationnels sont denses dans R et tout réel est point d'accumulation de Q.

Mauvaise application

Qualifier un point d'accumulation sur la base d'une seule sous-suite convergente sans vérifier qu'une infinité de points distincts du ensemble se trouvent arbitrairement proches ; confondre ensembles de limites finis avec un vrai comportement d'accumulation.

Conséquence

Les points d'accumulation déterminent l'ensemble dérivé et interviennent dans les caractérisations de la compacité (par ex. tout sous-ensemble infini d'un espace compact possède un point d'accumulation) et éclairent continuité et propriétés de convergence.

Inversion

Un point isolé, où existe un voisinage contenant aucun autre point de l'ensemble ; dans des topologies discrètes, les points d'accumulation peuvent être absents même pour des ensembles infinis.

Limite

Défini dans tout espace topologique au moyen de voisinages ; en contexte métrique on peut l'exprimer par des distances et une infinité de points distincts, tandis que dans certains contextes algébriques ou discrets les points d'accumulation peuvent ne pas exister.

Tension sémantique

Tension entre accumulation (infinité de points distincts rapprochés) et adhérence/fermeture (qui peut inclure des points isolés) ; entre points limites séquentiels (limites de suites) et points d'accumulation topologiques dans des espaces non à base dénombrable.

Synthèse

Un point d'accumulation est un lieu limite non isolé où les éléments d'un ensemble se concentrent arbitrairement près ; c'est la manifestation topologique d'une densité locale infinie et il sous-tend compacité, adhérence et arguments de convergence.