Un point qui appartient à la fois à l'adhérence d'un ensemble et à l'adhérence de son complément ; équivalemment, tout voisinage du point rencontre à la fois l'ensemble et son complément, marquant le bord topologique de l'ensemble.

Principe

Caractériser les bords géométriques ou topologiques par l'intersection locale des voisinages : l'appartenance à l'adhérence de l'ensemble et à celle du complément distingue le bord de l'intérieur et de l'extérieur.

Démonstration

Pour l'intervalle [0,1] dans R, les points 0 et 1 sont des points de frontière car tout intervalle ouvert les contenant rencontre [0,1] et son complément ; pour le disque unité ouvert dans R2, le cercle est l'ensemble frontière.

Mauvaise application

Confondre points de frontière et points d'accumulation d'une suite : un point peut être une limite de points d'un ensemble tout en étant intérieur (et donc non frontière).

Conséquence

Les points de frontière forment l'ensemble frontière dont les propriétés déterminent la continuité au bord, les conditions aux limites pour les EDP et la séparation intérieur/extérieur ; ils portent souvent des mesures géométriques comme la mesure superficielle ou le périmètre.

Inversion

Points intérieurs (il existe un voisinage contenu dans l'ensemble) ou points extérieurs (voisinage contenu dans le complément) ; en théorie des variétés, la 'frontière' au sens de la variété est une notion structurée distincte de la frontière topologique d'un sous-ensemble.

Limite

Défini dans tout espace topologique ; lorsqu'on parle de variétés à bord, le bord de la variété (points ayant des voisinages homéomorphes à un demi-espace) est une notion différente et ne doit pas être confondue avec la frontière topologique d'un sous-ensemble.

Tension sémantique

Tension entre la notion topologique de frontière d'un sous-ensemble et la notion de bord en théorie des variétés ; entre frontières au sens de la mesure (frontière essentielle, intérieur au sens de la mesure) et la frontière ponctuelle en théorie des ensembles.

Synthèse

Un point de frontière est le témoin local de la séparation entre un ensemble et son complément : tout voisinage rencontre les deux côtés, et l'ensemble de ces points encode le bord où le comportement intérieur se transforme en extérieur, avec des variantes en contexte mesurable et sur variétés.