Une branche de l'analyse qui combine des outils de la théorie de la mesure et des idées géométriques pour décrire la taille, la régularité, la structure tangentielle et les propriétés variationnelles des ensembles et des mesures dans l'espace euclidien (et dans des espaces métriques munis d'une mesure appropriée).

Principe

Employer des mesures, des densités, la rectifiabilité et des principes variationnels pour traduire des questions de forme et de régularité en énoncés mesurables et fonctionnels, puis revenir à une interprétation géométrique.

Démonstration

Étude des ensembles de périmètre fini selon De Giorgi : on compare la mesure du périmètre (dérivée distributionnelle de l'indicatrice) aux mesures de Hausdorff, on montre la rectifiabilité de la frontière au sens de la mesure et l'existence de normales généralisées presque partout.

Mauvaise application

Supposer qu'une petite dimension de Hausdorff ou une petite mesure implique automatiquement la régularité lisse d'un ensemble ; traiter des ensembles fractals ou purement non rectifiables comme s'ils admettaient des plans tangents approchants en tout point.

Conséquence

Permet des théorèmes précis de régularité pour les minimisateurs de problèmes variationnels géométriques (surfaces minimales, ensembles isopérimétriques), la classification des mesures tangentes et la décomposition des mesures en parties rectifiables et purement non rectifiables.

Inversion

Approches purement différentielle-géométriques supposant une structure lisse partout, ou approches purement théoriques de la mesure ignorant l'information de rectifiabilité géométrique.

Limite

Formulée principalement pour des sous-ensembles et des mesures de Radon dans l'espace euclidien, et pour des espaces métriques-pondérés satisfaisant des propriétés (doubling, inégalité de Poincaré) ; les résultats peuvent échouer ou exiger d'autres hypothèses en topologie générale, en milieux discrets ou sans compacité locale.

Tension sémantique

Tension entre la rectifiabilité (approximation par des variétés lisses presque partout) et l'irrégularité fractale (ensembles de pleine mesure sans plans tangents) ; entre frontière au sens de la mesure et frontière topologique classique.

Synthèse

La Théorie Géométrique de la Mesure synthétise théorie de la mesure et géométrie : elle utilise mesures, rapports de densité et principes variationnels pour caractériser quand et comment des ensembles et des mesures possèdent une structure géométrique (tangentes, normales, parties rectifiables) et pour en déduire des théorèmes de régularité et de structure.