Une collection localement finie de fonctions lisses et non négatives sur une variété topologique (ou un domaine), subordonnée à un recouvrement ouvert, dont la somme ponctuelle vaut identiquement un; utilisée pour localiser des constructions globales en pondérant et en recollant des données locales.

Principe

Emploi de fonctions de coupure lisses à support local qui sommées donnent un pour transférer et combiner des objets locaux (fonctions, formes, métriques) en un objet global tout en préservant la régularité et la localité.

Démonstration

Sur une variété lisse, choisir un recouvrement ouvert localement fini, le raffiner si nécessaire, et construire des fonctions test (bump) lisses supportées dans chaque ensemble raffiné de sorte que leur somme soit égale à un; puis recoller une famille de sections locales d'un fibré en multipliant chaque section locale par la bump correspondante et en sommant.

Mauvaise application

Utiliser une famille de fonctions qui n'est pas localement finie ou qui n'est pas lisse (p. ex. supports chevauchants infiniment avec somme non convergente, ou coupures seulement mesurables) de sorte que la somme résultante n'est pas lisse ou mal définie, ou tenter de subordonner une partition à un recouvrement non raffiné ou sur un espace non paracompact.

Conséquence

Permet d'étendre des constructions locales en constructions globales sans perte de régularité; rend possibles des arguments de localisation (intégration par parties, construction de métriques ou connexions globales) et le collage de solutions d'équations aux dérivées partielles ou de sections de fibrés.

Inversion

Remplacer l'exigence que la somme vaut un par la somme nulle ou une fonction quelconque détruit la normalisation garantissant une combinaison convexe des données locales; sans la contrainte d'unité on ne peut assurer l'invariance de l'objet recollé sous changement de choix locaux.

Limite

Nécessite un espace topologique paracompact pour l'existence dans la catégorie lisse; la construction présuppose une régularité suffisante (lisse, C^k, ou continue) et échoue typiquement sur des espaces non paracompacts ou lorsque seuls des recouvrements non localement finis existent.

Tension sémantique

Diffère des partitions d'un ensemble en fonctions caractéristiques disjointes : les partitions de l'unité utilisent des poids lissés et chevauchants sommant à un plutôt que des fonctions indicatrices mutuellement exclusives, échangeant l'exclusivité contre la régularité et le contrôle local.

Synthèse

Une partition de l'unité est un recouvrement pondéré lisse et localement fini dont la somme normalisée vaut un et qui permet de recoller de manière cohérente des données locales lisses en objets globaux sur des variétés paracompactes.