Une technique d'approximation par projection pour équations différentielles ou intégrales qui cherche des solutions approchées dans un sous-espace de dimension finie en imposant que le résidu soit orthogonal à ce sous-espace (ou à un sous-espace de test).

Principe

Remplacer un problème variationnel de dimension infinie par un problème de dimension finie : choisir espaces de test et d'essai, projeter le résidu sur zéro sur l'espace de test et obtenir des systèmes algébriques résolubles dont les solutions approchent la solution exacte sous conditions de consistance et de stabilité.

Démonstration

Pour approximer le problème de Poisson −Δu=f sur un domaine borné, choisir une base finie de H^1_0(Ω) (par exemple fonctions chapeau linéaires par éléments) et imposer ∫Ω ∇u_h·∇v_h = ∫Ω f v_h pour chaque fonction test v_h ; l'assemblage aboutit à un système linéaire creux pour les coefficients de u_h.

Mauvaise application

Employer des espaces d'essai/test non conformes, ignorer les conditions de compatibilité (inf-sup) pour les problèmes mixtes, ou ne pas contrôler l'interpolation/la stabilité conduit à des schémas non convergents ou à des modes spurious.

Conséquence

Avec des propriétés d'approximation et de stabilité appropriées (orthogonalité de Galerkin, lemme de Céa), la méthode fournit des approximations convergentes avec erreurs quantifiables et une voie pratique vers la solution numérique par assemblage matriciel et solveurs linéaires.

Inversion

Choisir des espaces de test différents des espaces d'essai mène à des schémas Petrov–Galerkin avec des caractéristiques de stabilité distinctes ; la collocation ou les méthodes aux moindres carrés abandonnent l'orthogonalité au profit d'un contrôle ponctuel ou en norme L^2 du résidu.

Limite

S'applique aux formulations variationnelles sur espaces de Hilbert ou Banach où existent des sous-espaces de dimension finie appropriés ; exclut des schémas sans structure de projection (collocation pure sans fondement variationnel) ou des problèmes sans forme faible bien posée.

Tension sémantique

Souvent opposée à la collocation, aux moindres carrés ou aux méthodes spectrales : Galerkin impose l'orthogonalité faible et hérite de la stabilité fonctionnelle-analytique, tandis que d'autres approches privilégient l'ajustement ponctuel ou des propriétés globales de base.

Synthèse

La méthode de Galerkin projette un problème variationnel infini sur des sous-espaces de dimension finie, produisant des systèmes algébriques dont les solutions approchent la solution exacte lorsque les exigences de consistance et de stabilité (approximation et inf-sup) sont satisfaites.