Caractérisation des sous-ensembles relativement compacts de C(K) (fonctions continues sur un domaine compact K) pour la topologie uniforme : une famille est relativement compacte si et seulement si elle est équicontinue et pointwise relativement compacte (souvent formulé équicontinue et bornée en chaque point).

Principe

Un contrôle uniforme des oscillations (équicontinuité) associé à un contrôle en chaque point empêche les divergences sauvages et garantit la précompacité pour la norme uniforme sur un domaine compact.

Démonstration

Sur K = [0,1], la famille de fonctions ayant une constante de Lipschitz uniforme L et des valeurs uniformément bornées en un point est équicontinue et bornée point par point ; par Arzelà-Ascoli, toute suite admet une sous-suite convergeant uniformément. En revanche, la famille f_n(x)=sin(n x) sur [0,2π] n'est pas équicontinue et n'admet pas de sous-suite convergeant uniformément.

Mauvaise application

Utiliser le théorème sur des domaines non compacts, dans des espaces sans structure de norme uniforme, ou ignorer l'équicontinuité : la seule bornitude point par point n'implique pas la précompacité ; sur K non compact la conclusion peut échouer.

Conséquence

Fournit un test pratique de compacité pour des ensembles de fonctions continues garantissant l'existence de sous-suites convergeant uniformément et joue un rôle fondamental dans l'étude des équations différentielles, du calcul des variations et des plongements compacts.

Inversion

Si une famille n'est pas équicontinue ou pas bornée en chaque point, elle n'est généralement pas relativement compacte ; la négation des hypothèses permet souvent de construire des suites sans sous-suite uniformément convergente.

Limite

Exige un domaine K compact et la topologie de convergence uniforme (norme sup) sur les fonctions continues. Ne s'applique pas directement aux espaces L^p, aux distributions ou aux domaines non compacts sans ajustements.

Tension sémantique

Tension avec la convergence point par point et la compacité faible : Arzelà-Ascoli assure une précompacité forte (uniforme), plus forte que la simple compacité point par point ou la compacité faible ; distinguer ces modes est crucial en pratique.

Synthèse

Arzelà-Ascoli relie équicontinuité et contrôle point par point à la précompacité dans C(K) : les familles de fonctions continues dont les oscillations et valeurs sont uniformément contrôlées n'ont que des accumulations en norme uniforme, fournissant des sous-suites de convergence uniforme.