Une fonction à valeurs réelles sur un intervalle est de variation bornée si le supremum, sur toutes les partitions finies de l'intervalle, de la somme des valeurs absolues des différences successives est fini ; équivalemment elle s'écrit comme différence de deux fonctions monotones croissantes (décomposition de Jordan).

Principe

Quantifier l'oscillation cumulative totale en sommant les sauts absolus sur les partitions ; une variation totale bornée contrôle l'irrégularité, fournit une dérivée au sens des mesures finie et permet une décomposition en parties monotones.

Démonstration

Une fonction par morceaux monotone avec un nombre fini de discontinuités de saut sur [a,b] a une variation totale finie égale à la somme des différences absolues le long des morceaux et des sauts ; une fonction monotone continue a pour variation son amplitude.

Mauvaise application

Prétendre qu'une fonction de variation bornée est continue ou dérivable partout ; certaines fonctions BV ont une infinité dénombrable de sauts et ne sont pas dérivables en de nombreux points.

Conséquence

Les fonctions BV sont intégrables, admettent une mesure de Radon signée finie comme dérivée distributionnelle, satisfont à des propriétés de compacité en L1 (sélection de Helly) et conviennent comme intégrandes ou intégrateurs de Stieltjes.

Inversion

Les fonctions de variation non bornée peuvent osciller sans contrôle à toute échelle de partition (par exemple des fonctions continues de variation divergente), montrant que BV est une régularité contraignante.

Limite

Défini pour des fonctions réelles sur des intervalles (ou plus généralement via des notions de variation pour plusieurs variables) ; exclut les domaines infiniment dimensionnels sans définitions adaptées et ne coïncide pas avec l'absolue continuité sans conditions supplémentaires.

Tension sémantique

Tension avec l'absolue continuité et la régularité Sobolev : BV admet des sauts et une partie singulière dans la mesure dérivée, tandis que l'absolue continuité implique une dérivée en L1 et l'absence de composante singulière.

Synthèse

La variation bornée traduit une finitude globale de l'oscillation totale sur un intervalle, équivalente à la décomposition de Jordan et à l'existence d'une mesure dérivée signée finie, situant BV entre la simple intégrabilité et l'absolue continuité.