Une norme sur l'espace des opérateurs linéaires bornés entre espaces vectoriels normés, définie comme le supremum des normes des images pour les vecteurs d'unité ; équivalemment la plus petite constante C telle que ||T x|| ≤ C ||x|| pour tout x.

Principe

Mesurer la taille d'un opérateur par son effet d'étirement maximal sur les vecteurs de norme unitaire ; cette norme induite est sous-multiplicative et compatible avec les normes des espaces de départ et d'arrivée.

Démonstration

Pour une matrice considérée comme application linéaire sur R^n munie de la norme euclidienne, la norme de l'opérateur coïncide avec la plus grande valeur singulière : ||A||2 = sup_{||x||2=1} ||Ax||2 = σ_max(A).

Mauvaise application

Confondre avec une norme coefficient par coefficient (par exemple la somme des valeurs absolues des lignes) sans préciser les normes vectorielles, ou tenter de calculer la norme pour un opérateur non borné sans traiter son domaine.

Conséquence

Une norme d'opérateur finie implique la continuité et la bornitude de l'opérateur ; les normes fournissent une topologie des opérateurs, assurent ||ST|| ≤ ||S|| ||T||, et contrôlent la propagation des erreurs en calcul numérique.

Inversion

Remplacer le supremum par un infimum (amplification minimale sur les vecteurs de norme unitaire) donne une quantité souvent nulle et qui ne mesure pas la taille globale ; inverser et considérer la norme de l'inverse met en évidence l'inversibilité plutôt que l'effet direct.

Limite

Définie pour les opérateurs linéaires bornés entre espaces normés ; ne s'applique pas aux opérateurs non linéaires ou non bornés sans précisions sur le domaine, et dépend du choix des normes vectorielles sous-jacentes.

Tension sémantique

Tension avec les normes matricielles coefficientielles : la norme d'opérateur évalue l'action sur les vecteurs selon des normes données, tandis que les normes coefficientielles évaluent les coefficients et peuvent classer différemment la taille d'un opérateur.

Synthèse

La norme de l'opérateur condense en un scalaire sous-multiplicatif l'effet maximal d'une application linéaire bornée selon des normes fixées, caractérisant continuité, stabilité et comportement sous composition.