La méthode consistant à remplacer la variable d'intégration par une nouvelle variable via une substitution (souvent un difféomorphisme) et à insérer le Jacobien approprié (valeur absolue du déterminant de la dérivée) pour préserver la valeur de l'intégrale sous le changement de coordonnées.

Principe

Principe sous-jacent : les intégrales sont invariantes sous l'image de la mesure par une substitution ; la règle de chaîne et le facteur de changement de variables (jacobien) tiennent compte de l'étirement/compaction local du volume par l'application de substitution.

Démonstration

Exemple classique : passer d'un intégrale double en coordonnées cartésiennes à polaires. L'application (r,θ)↦(r cosθ, r sinθ) a pour jacobien r, donc ∫_Region f(x,y) dx dy = ∫_Image f(r cosθ,r sinθ) r dr dθ, ce qui simplifie de nombreuses intégrales radiales.

Mauvaise application

Omettre le facteur jacobien, appliquer une substitution non injective sur le domaine d'intégration sans compenser les multiplicités, ou ne pas transformer correctement les limites conduit à des résultats erronés.

Conséquence

Un changement de variables correct simplifie les calculs, met en évidence les symétries et relie des intégrales dans différents systèmes de coordonnées ; il est essentiel en probabilité (transformation des lois), en géométrie différentielle (pullback/pushforward) et en analyse multivariable.

Inversion

La vue inverse consiste à pousser une mesure : au lieu de ramener les intégrandes avec un jacobien, on peut voir la substitution comme l'image de la mesure sous l'application ; ne pas distinguer ces perspectives peut embrouiller orientation et multiplicités.

Limite

Exige une régularité suffisante de l'application de substitution (par ex. bijection C^1 sur les domaines ou application mesurable avec jacobien défini presque partout) et un traitement adéquat des frontières, singularités et orientations.

Tension sémantique

Tension entre la substitution algébrique intuitive enseignée au calcul élémentaire et la formulation rigoureuse en théorie de la mesure : cette dernière exige déterminants jacobiens et un traitement soigneux des applications non injectives ou non lisses.

Synthèse

Le changement de variables remplace l'intégration dans un système de coordonnées par l'intégration dans un autre via l'application de substitution, le jacobien rendant compte de la distorsion volumique locale ; appliqué avec régularité et gestion des multiplicités, il préserve les valeurs intégrales et simplifie l'analyse.