La procédure consistant à permuter la différentiation par rapport à un paramètre et l'intégration sur un espace mesuré dans un intégral dépendant d'un paramètre, justifiée sous des conditions telles que la convergence uniforme, la convergence dominée ou l'intégrabilité absolue de la dérivée.

Principe

Règle : si l'intégrande f(x,t) et sa dérivée partielle ∂f/∂t satisfont des hypothèses d'intégrabilité et d'uniformité ou de domination sur la région des paramètres, alors d/dt ∫ f(x,t) dx = ∫ ∂f/∂t (x,t) dx ; la domination et le contrôle uniforme autorisent l'échange des opérations limites.

Démonstration

Considérer I(t)=∫_a^b e^{-t x^2} dx. La dérivée partielle ∂/∂t e^{-t x^2} = −x^2 e^{-t x^2} est dominée par x^2 e^{-t0 x^2} sur un intervalle compact en t, donc on différentie sous le signe intégral pour obtenir I'(t)=∫_a^b −x^2 e^{-t x^2} dx.

Mauvaise application

Permuter différentiation et intégration lorsque ∂f/∂t n'est pas intégrable ou n'a pas de majorant intégrable ; par exemple, des intégrandes paramétriques présentant des pics de plus en plus concentrés peuvent violer la règle et donner des dérivées incorrectes.

Conséquence

Lorsqu'elle est valable, la technique simplifie le calcul des dérivées par rapport à un paramètre, fournit des identités différentielles pour des intégrales et soutient de nombreux calculs analytiques en analyse appliquée et pure.

Inversion

Le contraste est d'intégrer la dérivée sans justification : calculer ∫ ∂f/∂t lorsque la loi d'échange échoue peut produire une valeur qui n'égale pas la dérivée de l'intégrale ; inversement, la différentiation pointwise d'intégrales sans contrôle est invalide.

Limite

Nécessite un cadre précis en théorie de la mesure : domaine intégrable, topologie des paramètres et conditions comme le théorème de convergence dominée, la convergence uniforme sur compacts en t, ou l'intégrabilité absolue de ∂f/∂t. Ne s'applique pas aux dérivées pointwise arbitraires ni aux intégrandes non mesurables.

Tension sémantique

Tension entre la règle formelle de Leibniz (souvent enseignée de façon heuristique) et la justification en théorie de la mesure : la manipulation symbolique sans hypothèses de domination ou d'uniformité peut induire en erreur.

Synthèse

La différentiation sous le signe intégral est l'échange contrôlé de la dérivation et de l'intégration basé sur des hypothèses de domination ou de convergence uniforme, permettant de faire passer la dérivée sous le signe intégral et de calculer de façon fiable les dérivées paramétriques.