Le foncteur canonique pleinement fidèle y: C → [C^{op}, Set] qui envoie chaque objet X d'une catégorie C sur le foncteur représentable Hom_C(-,X), plaçant ainsi C dans la catégorie des préfaisceaux et codant les objets par leurs applications entrantes.

Principe

L'idée organisatrice est la représentabilité et l'épreuve par sondes : les objets sont déterminés par les manières dont les autres objets se mappent en eux, de sorte que le plongement de Yoneda réalise chaque objet comme foncteur de ses ensembles de morphismes entrants, préservant toute l'information catégorique à isomorphisme près.

Démonstration

Pour une petite catégorie C, le plongement de Yoneda envoie un objet X sur Hom_C(-,X) ; les transformations naturelles entre représentables correspondent aux morphismes de C, fournissant un plongement fidèle concret : Hom_{[C^{op},Set]}(Hom(-,X),Hom(-,Y)) ≅ Hom_C(X,Y).

Mauvaise application

Considérer le plongement de Yoneda comme un isomorphisme sur son image sans vérifier les questions de taille ou de complétude : bien que pleinement fidèle, l'image essentielle du plongement est constituée des préfaisceaux représentables et n'exhauste pas nécessairement tous les préfaisceaux ni ne reflète les limites au-delà de ce que portent les représentables.

Conséquence

Grâce au plongement de Yoneda, on peut réduire des questions sur objets et morphismes à des calculs avec foncteurs et transformations naturelles, appliquer des critères de représentabilité et exploiter les constructions de préfaisceaux pour étudier universalité et limites.

Inversion

La réciproque consiste à considérer la catégorie des préfaisceaux sans se restreindre aux représentables : de nombreux préfaisceaux ne sont pas représentables, si bien que la perspective inversée se concentre sur des espaces généralisés de sondes plutôt que seulement sur ceux issus des objets de C.

Limite

Le plongement de Yoneda s'applique à toute catégorie localement petite ; il n'identifie pas C à l'ensemble de la catégorie des préfaisceaux sauf si tout préfaisceau est représentable, et il exclut les contextes où les ensembles de morphismes sont de classes propres sans contrôle de taille adéquat.

Tension sémantique

Le lemme de Yoneda et le plongement entrent en tension avec une pensée naïve basée sur éléments : le plongement remplace les éléments par des transformations naturelles, si bien que concilier l'intuition pointuelle avec les descriptions fonctorielles est souvent source de friction conceptuelle.

Synthèse

Le plongement de Yoneda réalise fidèlement chaque objet d'une catégorie comme le foncteur des morphismes entrant en lui, incorporant la catégorie dans une catégorie de préfaisceaux de sorte que les objets sont entièrement caractérisés par la manière dont les autres objets s'y mappent.